Lagos de Wada

Los lagos de Wada

Atractor de x³ − 1 = 0;con la propiedad de Wada: los tres abiertos comparten la misma frontera. A diferencia de los lagos de Wada, cada uno de estos abiertos es disconexo.

Imaginemos un mapa con tres países (representados por abiertos arcoconexos). Pensemos en la frontera de estos países. Habrá puntos de la misma que sean frontera de dos de ellos, y puede que haya alguno que sea frontera de los tres simultáneamente. La intuición puede hacernos creer que el número de estos últimos puntos debe ser escaso, pero el contraejemplo conocido como los lagos de Wada nos muestra que esto no es así.

En matemáticas, los lagos de Wada son una construcción formada por tres abiertos conexos disjuntos del plano con una frontera común a los tres. Esta construcción fue publicada por el matemático japonés Kunizō Yoneyama en 1917, que la nombró así en honor a su profesor Takeo Wada. Este descubrimiento se realizó de forma independiente al del matemático holandés Brouwer, que en 1910 halló un ejemplo similar.

De los conjuntos que comparten una propiedad similar se dicen que tienen la propiedad de Wada. Entre los ejemplos de los mismos aparecen atractores de sistemas dinámicos.

Construcción

La construcción formal de los lagos de Wada puede iniciarse con el interior de un cuadrado de lado unidad, al que llamaremos tierra firme. En él cavaremos tres lagos (numerados como 0, 1 y 2 ) que iremos extendiendo en días sucesivos siguiendo la siguiente regla:

• Sea a_n una sucesión que converja a cero. En el día n = 1, 2, 3, 4, ... extenderemos el lago n mod 3 (= 1, 2, 0, 1...) de modo que pase a una distancia a_n de la tierra firme restante.

Esto puede realizarse de modo que la tierra firme conserve su interior conexo, y cada lago siga siendo abierto. En el límite, tras un número infinito de pasos, los tres lagos continuarán siendo abiertos conexos y disjuntos, y la tierra firme restante se convertirá en la frontera común a todos ellos.

Esta construcción puede generalizarse a cualquier número finito k de lagos sustituyendo el orden en que los extendemos, originalmente de 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, ...., por 1, 2, ..., k-1, 0, 1, 2,..., k-1,0,... . Puede incluso generalizarse a un conjunto infinito numerable de lagos siguiendo el orden marcado por 0, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 4, ... .

Referencias

• Gelbaum, Bernard R.; Olmsted, John M. H. (2003), Counterexamples in analysis, ISBN 0-486-42875-3 (example 10.13)