- Conjunto conexo
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Un conjunto conexo es un subconjunto
de un espacio topológico 
(donde 
es la colección de conjuntos abiertos del espacio topológico) que no puede ser descrito como unión disjunta de dos conjuntos abiertos de la topología.Intuitivamente, un conjunto conexo es aquel formado por una sola 'pieza', que no se puede 'dividir'. Cuando un conjunto no sea conexo, diremos que es inconexo.
Formalmente,
es un conjunto conexo si y sólo si
implica 
Notar que si C = X, entonces tendremos que X es conexo si y sólo si
implica 
. En este caso, se llama espacio topológico conexo,Bajo estas definiciones, se tiene que
es conexo si y solamente si es un espacio topológico conexo para la topología traza.Contenido
Ejemplos
Conjuntos conexos
- Las esferas
son conexas - Un punto en
es conexo - Un nudo es un conjunto conexo en
- Un toro es un conjunto conexo en
- En
, un conjunto es conexo si y solamente si es un intervalo (matemática) - El complementario de un punto en
es conexo
Conjuntos inconexos
- El complementario de un punto en
- El conjunto formado por la unión de dos esferas disjuntas en
- Un enlace de
componentes (nudos)
Propiedades de los conjuntos conexos
Se cumple que si
es un espacio topológico conexo, cualquier espacio homeomorfo a él también lo será. Esta propiedad nos da una caracterización muy útil de los conjuntos conexos: es un conjunto conexo si y solamente si para toda función 
continua, se cumple que f es una función constante, donde a {0,1} se le dota de la topología discreta.Otra propiedad interesante de los conjuntos conexos es la siguiente: Si
es una familia de espacios topólogicos conexos (con I un conjunto de índices de cualquier cardinalidad), entonces 
también es conexo, donde 
es la topología producto.Por último, si X no es conexo, es decir, si existen abiertos U,V disjuntos no vacíos tales que su unión es X, es fácil ver que cada abierto será el complemento del otro, luego serán complementos de un abierto, y por ende, serán cerrados. Es decir, serán conjuntos clopen. Por esto, otra manera de caracterizar la conexidad es decir: X será conexo si y sólo si los únicos clopen son X y el vacío (donde ambos conjuntos son siempre clopen).
Conexidad por caminos
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Véase también: Espacio conexo por caminos
Diremos que un conjunto X es conexo por caminos o arco conexo si dados
existe un camino continuo ![\alpha :[0,1]\rightarrow X](5/3a58a613140ac7ec9ac1c893b2232178.png)
tal que α(0) = x1 y α(1) = x2.
La conexidad por caminos implica conexidad, pero el recíproco no es cierto en general. Un contraejemplo muy típico es el llamado peine del topólogo,
, donde A = {(0,1)} y ![B=((0, 1] \times {0})\cup (\{\frac{1}{n} : n\in \mathbb{N}\}\times [0, 1])](5/df50d30a29f60606fbe82ead04391c1f.png)
. X es conexo, pero no conexo por caminos.Ser conexo por caminos no es una propiedad hereditaria (esto es, si un conjunto es conexo por caminos, cualquier subconjunto de éste no es necesariamente conexo por caminos). Sin embargo, ser conexo por caminos es una propiedad topológica (es decir, la imagen mediante una aplicación continua de un conjunto conexo por caminos es conexa por caminos).
Componentes conexas
Dado un espacio topológico
inconexo se llama componente conexa, a cada uno de los conjuntos maximales conexos. Es decir un subconjunto 
es un componente conexa si se cumplen estas dos condiciones:- es conexo.
- Cualquier conjunto
que contiene propiamente a 
es inconexo.
Se cumple que las componentes conexas de X forman una partición de X.
Categoría:- Topología general
- Las esferas
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