- Lugar de raíces
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En teoría de control, el lugar de raíces o lugar de las raíces (del inglés, root locus) es el lugar geométrico de los polos y ceros de una función de transferencia a medida que se varía la ganancia del sistema K en un determinado intervalo.
El método del lugar de raíces permite determinar la posición de los polos de la función de transferencia a lazo cerrado para un determinado valor de ganancia K a partir de la función de transferencia a lazo abierto.
El lugar de raíces es una herramienta útil para analizar sistemas dinámicos lineales tipo SISO (single input single output) y su estabilidad (BIBO stability). (Recuérdese que un sistema es estable si todos sus polos se encuentran en el semiplano izquierdo del
Contenido
Definición
Sea G(s)H(s) la función de transferencia del sistema a lazo abierto. Pertenecen al lugar de raíces todos los puntos del plano complejo que satisfacen la ecuación característica
- 1 + kG(s)H(s) = 0
Para el caso en que , no se trata entonces del lugar de raíces verdadero, sino, del lugar de raíces complementario. Una solución de la ecuación para un valor de k dado se llama lugar de la raíz.
Propiedades
El lugar de raíces es simétrico respecto del eje real.
Comienza en k = 0 en los polos pi de la transferencia a lazo abierto G(s)H(s), y termina para , normalmente con valor nulo. Las soluciones para corresponden al lugar de raíces verdadero, mientras que las soluciones para k < 0 corresponden al lugar de raíces complementario.
Reglas para graficar el lugar de raíces
Las reglas que se detallan a continuación permiten graficar el lugar de raíces sin resolver la ecuación caracterísitica, permitiendo que el método sea aplicable a sistemas complejos. Se basan en el desarrollo de R. Evans, publicado en 1948, y por consiguiente se las conoce como Reglas de Evans.
Las siguientes reglas permiten graficar el lugar de raíces para valores de k positivos. Para valores negativos de k se utiliza un conjunto de reglas similar.
En lo que sigue, nos referimos a la función de transferencia a lazo abierto.
- Número de ramas. El número de ramas del lugar de raíces es igual al orden de la ecuación característica de la función de transferencia a lazo cerrado. Para sistemas racionales, esto equivale al orden de la ecuación característica de la función de transferencia a lazo abierto, es decir, el denominador de la función de transferencia a lazo abierto.
- Simetría. Dado que la ecuación característica es de coeficientes reales, las raíces complejas deben ser complejas conjugadas. Por tanto, el lugar de raíces es simétrico respecto al eje real.
- Polos de lazo abierto. Los polos de la función de transferencia a lazo abierto pertenecen al lugar de raíces y corresponden a k = 0.
- Ceros de lazo abierto. Los ceros de la función de transferencia a lazo abierto pertenecen al lugar de raíces y corresponden a . Si hay t polos más que ceros, entonces t posiciones se harán infinitas a medida que k se aproxime a infinito.
- Asíntotas. Si la función de transferencia de lazo cerrado tiene t polos más que ceros, entonces el lugar de raíces tiene t asíntotas equiespaciadas, formando entre ellas un ángulo de , donde . El lugar de raíces se aproxima a estas asíntotas a medida que k tiene a infinito.
- Centroide de las asíntotas. El punto del eje real donde las asíntotas se intersecan se suele llamar el centroide de las asíntotas, se denota mediante σ0, y se calcula mediante , donde t = n − m, siendo n la cantidad de polos y m la cantidad de ceros.
- Lugar de raíces sobre el eje real. Si la función de transferencia a lazo abierto tiene más de un polo o cero reales, entonces el segmento del eje real que tiene un número impar de polos y ceros reales a su derecha forma parte del lugar de raíces.
- Puntos de entrada-salida. Los puntos de entrada-salida, o puntos singulares, indican la presencia de raíces múltiples de la ecuación característica, y se dan en los valores de s para los cuales se verifica .
- Intersección con el eje imaginario. Las intersecciones con el eje imaginario se encuentran calculando los valores de k que surgen de resolver la ecuación característica para s = jω.
- Pendiente del lugar de raíces en polos y ceros complejos. La pendiente del lugar de raíces en polos y ceros complejos de la función de transferencia a lazo abierto se puede encontrar en un punto de la vecindad del polo o cero mediante la relación .
- Cálculo de k en un punto del lugar de raíces. El valor absoluto de k que corresponde a un punto dado del lugar de raíces puede determinarse midiendo el módulo de cada segmento que une cada polo y cero de la función de transferencia a lazo abierto y el punto en cuestión, y evaluando así .
Véase también
- Margen de fase
- Margen de ganancia
- Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz
- Criterio de estabilidad de Nyquist
Enlaces externos
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