Matriz booleana

Matriz booleana

Una matriz de nxm elementos:

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & . & . & .& a_{1m}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & . & . & .& a_{2m}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & . & . & .& a_{3m}\\ . & . & . & . & . & .& .\\ . & . & . & . & . & .& .\\ . & . & . & . & . & .& .\\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & . & . & .& a_{nm}\\ \end{pmatrix}

es una matriz booleana si A[j,i] = 0 o A[j,i]=1 para todo i = 1,2,3,...,n y j = 1,2,3,...m.

Contenido

Operaciones con matrices booleanas

Las operaciones que se pueden realizar entre matrices booleanas son tres: unión, conjunción y producto booleano. Sin embargo, estas operaciones no pueden realizarse sobre dos matrices cualesquiera, sino que deben cumplir ciertos criterios para poder llevarse a cabo. En particular, en el caso de la unión y la conjunción, las matrices que intervienen en la operación deben tener el mismo tamaño, y en el caso del producto booleano, las matrices deben cumplir con las mismas condiciones que para formar el producto de matrices.

Unión / conjunción

Sean A, B y C matrices booleanas de nxm elementos. Se define A \vee B = C la unión de A y B, por:

C[i,j] =\begin{cases} 1, & \mbox{si } A[i,j]= 1\ { o\ } B[i,j]= 1 \\ 0, & \mbox{si }A[i,j]=B[i,j]=0 \end{cases}

Intersección / Disyunción

Sean A, B y C matrices booleanas de nxm elementos. Se define A \and B = C la intersección de A y B, por:

C[i,j] =\begin{cases} 1, & \mbox{si }A[i,j]=B[i,j]=1 \\ 0, & \mbox{si } A[i,j]= 0\ { o\ } B[i,j]= 0 \end{cases}

Matriz booleana asociada a una relación

Dada relación binaria \mathcal{R} sobre un conjunto de n elementos \{a_1,\dots,a_n\}, para calcular la clausuara simétrica conviene representar la relación como matriz booleana definida mediante:

B_\mathcal{R} = [b_{ij}]\quad \land \quad b_{ij} = \begin{cases} 1 & \mbox{si}\ a_i\mathcal{R}a_j\\ 0 & \mbox{si}\ \lnot a_i\mathcal{R}a_j \end{cases}


Wikimedia foundation. 2010.

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