Clausura simétrica

Clausura simétrica

Sea R una relación binaria aplicada sobre un conjunto A, la clausura simétrica o cierre simétrico de R, denotada CS(R), es la relación simétrica más pequeña aplicada sobre A que contiene a R.

En otras palabras, CS(R) es la relación binaria que verifica:

  1. R\subseteq CS(R)
  2. CS(R)\, es simétrica
  3. Si R'\, es una relación simétrica tal que R\subseteq R', entonces CS(R)\subseteq R'

Note que si R es simétrica, entonces CS(R) = R.


Cómo calcularla

Si tenemos una relación binaria \scriptstyle \mathcal{R} sobre un conjunto de n elementos \scriptstyle \{a_1,\dots,a_n\}, para calcular la clausuara simétrica conviene representar esta relación binaria como una matriz booleana \scriptstyle B_\mathcal{R} definida como:

B_\mathcal{R} = [b_{ij}]\quad \mbox{donde}\quad b_{ij} :=
\begin{cases} 1 & \mbox{si}\ a_i\mathcal{R}a_j\\
0 & \mbox{si}\ \lnot a_i\mathcal{R}a_j \end{cases}

Es decir, si el elemento ai y el elemento aj están relacionados entonces en la fila i y la columna j de la matriz boleana aparecerá un 1, y si no están relacionados aparecerá un 0.

Si tenemos una relación expresada como matriz booleana, para obtener la matriz que representará a la clausura simétrica se cambian algunos 0s por 1s, en la matriz de la relación original para que la matriz final sea simétrica respecto de la diagonal principal.

1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1
1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1
1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1

La regla de cambio, efectivametne es: si b_{ij} \ne b_{ji} entonces debemos hacer el siguiente cambio \bar{b}_{ij} := \bar{b}_{ji} = \max\{b_{ij}, b_{ji}\}.

Véase también


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