Mayoración

Mayoración

Una función f (de orden 1) mayora a una g (de orden n) si y sólo si:

f(max(x_{1},x_{2}, .. ,x_{n})) \ge g(x_{1},x_{2}, .. ,x_{n})

Notación: f^{(1)} \to g^{(n)}

Contenido

Teoremas referidos a la mayoración

Lemas

Lema (A)

Las funciones recursivas base está mayoradas por f0 Sea X = x1,x2,..,xn

Demostración:

  • f_{0}(x) = s(x) \ge s(x)
  • f_{0}(x) = s(x) \ge 0 = z(x)
  • f_{0}(Max(X)) = s(Max(X)) \ge x_{j} = p^{(n)}_{j}(X)

Lema (B)

Si f_{k} \to I^{(n)} \; y \; f_{k} \to h^{(m)}_{i} \; con \; i \; = \; 1..m (2) entonces f_{k+1} \to \phi\ ( I^{(n)},h^{(m)}_{1}, h^{(m)}_{2}, ... , h^{(m)}_{m})

Demostración:

Si f_{k} \to h^{(m)}_{i} \; con \;i \; = 1..m entonces Max(h_{1}(X),h_{2}(X), .. , h_{n}(X)) \le f_{k}(Max(X))

Entonces, \phi\ ( I,h_{1}, h_{2}, ... , h_{m})(X) = I( h_{1}(X), h_{2}(X), ... , h_{m}(X))

Usando la hipótesis y fk es creciente (2).

f_{k}(Max(h_{1}(X),h_{2}(X), .. , h_{n}(X))) \le f_{k}(f_{k}(Max(X)))

Por definición de función potencia:

f_{k}(f_{k}(Max(X))) = f^2_{k}(Max(X))

Aplicando (4) varias veces ...

f^2_{k}(Max(X)) \le f^{(2+1)}_{k}(Max(X)) \le .. \le f^{(2+Max(X))}_{k}(Max(X))

Por definición:

f^{(2+Max(X))}_{k}(Max(X)) = f_{k+1}(Max(X))

Por lo tanto, f_{k+1} \to \phi\ ( I^{(n)},h^{(m)}_{1}, h^{(m)}_{2}, ... , h^{(m)}_{m})


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