Programación geométrica

Programación geométrica

Programación geométrica

Un programa geométrico es un problema de optimización de la forma

Minimizar \ f_0(x)\ tal que

f_i(x) \leq 1, \quad i = 1,\dots,m
h_i(x) = 1,\quad i = 1,\dots,p

donde f_0,\dots,f_m son posinomios y h_1,\dots,h_p son monomios. Hay que subrayar que al hablar de programación geométrica (al contrario que en otras disciplinas), un monomio se define como una funcion f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R} con \mathrm{dom} \ f = \mathbb{R}_{++}^n definido como

f(x) = c x_1^{a_1} x_2^{a_2} \cdots x_n^{a_n}

donde c > 0 \ y a_i \in \mathbb{R} .

Tiene múltiples aplicaciones, como el dimensionamiento de circuitos y la estimación paramétrica vía regresión logística en estadística.

Forma convexa

Los programa geométricos no son por regla general problemas de optimización convexa, pero pueden transformarse en ellos mediante un cambio de variables y una transformación de las funciones objetivo y de restricción. Definiendo yi = logxi, el monomio f(x) = c x_1^{a_1} \cdots x_n^{a_n} \mapsto e^{a^T y +b}, donde b = logc. De la misma forma, si f es el posinomio

f(x) = \sum_{k=1}^K c_k x_1^{a_{1k}} \cdots x_n^{a_{nk}}

entonces f(x) = \sum_{k=1}^K e^{a_k^T y + b_k}, donde a_k = (a_{1k},\dots,a_{nk} ) y bk = logck. Tras el cambio de variables, el posinomio se convierte en una suma de exponenciales de funciones afines.

Enlaces externos

Obtenido de "Programaci%C3%B3n geom%C3%A9trica"

Wikimedia foundation. 2010.

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