Árbol binario

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En ciencias de la computación, un árbol binario es una estructura de datos en la cual cada nodo siempre tiene un hijo izquierdo y un hijo derecho. No pueden tener más de dos hijos (de ahí el nombre "binario"). Si algún hijo tiene como referencia a null, es decir que no almacena ningún dato, entonces este es llamado un nodo externo. En el caso contrario el hijo es llamado un nodo interno. Usos comunes de los árboles binarios son los árboles binarios de búsqueda, los montículos binarios y Codificación de Huffman.

Definición de teoría de grafos

Un árbol binario sencillo de tamaño 9, 4 niveles y altura 3 (altura = máximo nivel - 1), con un nodo raíz cuyo valor es 2.

En teoría de grafos, se usa la siguiente definición: «Un árbol binario es un grafo conexo, acíclico y no dirigido tal que el grado de cada vértice no es mayor a 3». De esta forma sólo existe un camino entre un par de nodos.

Un árbol binario con enraizado es como un grafo que tiene uno de sus vértices, llamado raíz, de grado no mayor a 2. Con la raíz escogida, cada vértice tendrá un único padre, y nunca más de dos hijos. Si rehusamos el requerimiento de la conectividad, permitiendo múltiples componentes conectados en el grafo, llamaremos a esta última estructura un bosque.

Tipos de árboles binarios

• Un árbol binario es un árbol con raíz en el que cada nodo tiene como máximo dos hijos.
• Un árbol binario lleno es un árbol en el que cada nodo tiene cero o dos hijos.
• Un árbol binario perfecto es un árbol binario lleno en el que todas las hojas (vértices con cero hijos) están a la misma profundidad (distancia desde la raíz, también llamada altura).
• A veces un árbol binario perfecto es denominado árbol binario completo. Otros definen un árbol binario completo como un árbol binario lleno en el que todas las hojas están a profundidad n o n-1, para alguna n.

Un árbol binario es un árbol en el que ningún nodo puede tener más de dos subárboles. En un árbol binario cada nodo puede tener cero, uno o dos hijos (subárboles). Se conoce el nodo de la izquierda como hijo izquierdo y el nodo de la derecha como hijo derecho.

Implementación en C

Un árbol binario puede declararse de varias maneras. Algunas de ellas son:

Estructura con manejo de memoria dinámica, siendo puntA el puntero que apunta al árbol de tipo tArbol:

typedef struct nodo {
    int clave;
    struct nodo *izdo, *dcho;
}Nodo;

Estructura con arreglo indexado:

typedef struct tArbol
{
  int clave;
  tArbol hIzquierdo, hDerecho;
} tArbol;
tArbol árbol[NUMERO_DE_NODOS];

En el caso de un árbol binario casi-completo (o un árbol completo), puede utilizarse un sencillo arreglo de enteros con tantas posiciones como nodos deba tener el árbol. La información de la ubicación del nodo en el árbol es implícita a cada posición del arreglo. Así, si un nodo está en la posición i, sus hijos se encuentran en las posiciones 2i+1 y 2i+2, mientras que su padre (si tiene), se encuentra en la posición truncamiento((i-1)/2) (suponiendo que la raíz está en la posición cero). Este método se beneficia de un almacenamiento más compacto y una mejor localidad de referencia, particularmente durante un recorrido en preorden. La estructura para este caso sería por tanto:

int árbol[NUMERO_DE_NODOS];

Recorridos sobre árboles binarios

Recorridos en profundidad

El método de este recorrido es tratar de encontrar de la cabecera a la raíz en nodo de unidad binaria. Ahora pasamos a ver la implementación de los distintos recorridos:

Recorrido en preorden

En este tipo de recorrido se realiza cierta acción (quizás simplemente imprimir por pantalla el valor de la clave de ese nodo) sobre el nodo actual y posteriormente se trata el subárbol izquierdo y cuando se haya concluido, el subárbol derecho. Otra forma para entender el recorrido con este metodo seria seguir el orden: nodo raiz, nodo izquierda, nodo derecha.

En el árbol de la figura el recorrido en preorden sería: 2, 7, 2, 6, 5, 11, 5, 9 y 4.

void preorden(tArbol *a)
{
  if (a != NULL) {
    tratar(a);                        //Realiza una operación en nodo
    preorden(a->hIzquierdo);
    preorden(a->hDerecho);
  }
}

Implementación en pseudocódigo de forma iterativa:

push(s,NULL);       //insertamos en una pila (stack) el valor NULL, para asegurarnos de que esté vacía
push(s,raíz);                       //insertamos el nodo raíz
MIENTRAS (s <> NULL) HACER
    p = pop(s);                     //sacamos un elemento de la pila
    tratar(p);                      //realizamos operaciones sobre el nodo p
    SI (D(p) <> NULL)               //preguntamos si p tiene árbol derecho
         ENTONCES push(s,D(p));
    FIN-SI
    SI (I(p) <> NULL)               //preguntamos si p tiene árbol izquierdo
         ENTONCES push(s,I(p));
    FIN-SI
FIN-MIENTRAS

Recorrido en postorden

En este caso se trata primero el subárbol izquierdo, después el derecho y por último el nodo actual. Otra forma para entender el recorrido con este metodo seria seguir el orden: nodo izquierda, nodo derecha, nodo raiz. En el árbol de la figura el recorrido en postorden sería: 2, 5, 11, 6, 7, 4, 9, 5 y 2.

void postorden(tArbol *a)
{
  if (a != NULL) {
    postorden(a->hIzquiedo);
    postorden(a->hDerecho);
    tratar(a);                        //Realiza una operación en nodo
  }
}

Recorrido en inorden

En este caso se trata primero el subárbol izquierdo, después el nodo actual y por último el subárbol derecho. En un ABB este recorrido daría los valores de clave ordenados de menor a mayor. Otra forma para entender el recorrido con este metodo seria seguir el orden: nodo izquierda,nodo raiz,nodo derecha. En el árbol de la figura el recorrido en inorden sería: 2, 7, 5, 6, 11, 2, 5, 9, 4.

Esquema de implementación:

void inorden(tArbol *a)
{
  if (a != NULL) {
    inorden(a->hIzquierdo);
    tratar(a);                                 //Realiza una operación en nodo
    inorden(a->hDerecho);
  }
}

Recorridos en amplitud (o por niveles)

En este caso el recorrido se realiza en orden por los distintos niveles del árbol. Así, se comenzaría tratando el nivel 1, que sólo contiene el nodo raíz, seguidamente el nivel 2, el 3 y así sucesivamente. En el árbol de la figura el recorrido en amplitud sería: 2, 7, 5, 2, 6, 9, 5, 11 y 4.

Al contrario que en los métodos de recorrido en profundidad, el recorrido por niveles no es de naturaleza recursiva. Por ello, se debe utilizar una cola para recordar los subárboles izquierdos y derecho de cada nodo.

El esquema algoritmo para implementar un recorrido por niveles es exactamente el mismo que el utilizado en la versión iterativa del recorrido en preorden pero cambiando la estructura de datos que almacena los nodos por una cola.

Implementación en C:

void arbol_recorrido_anch (tipo_Arbol* A) {
    tipo_Cola cola_nodos; // esta cola esta implementada previamente, almacena punteros (posiciones de nodos de arbol)
 
    tipo_Pos nodo_actual; // este es un puntero llevara el recorrido
 
    if (vacio(A)) // sie el arbol esta vacio, salimos
        return;
 
    cola_inicializa(&cola_nodos); // obvio, y necesario
 
    cola_enqueue(A, &cola_nodos); // se encola la raiz
 
    while (!vacia(&cola_nodos)) { // mientras la cola no se vacie se realizara el recorrido
        nodo_actual = cola_dequeue(&cola_nodos) // de la cola saldran los nodos ordenados por nivel
 
        printf("%c,", nodo_actual->info); // se "procesa" el nodo donde va el recorrido, en este caso se imprime
 
        if (nodo_actual->izq != null) // si existe, ponemos el hijo izquierdo en la cola
            cola_enqueue(nodo_actual->izq, &cola_nodos);
 
        if (nodo_actual->der != null) // si existe, ponemos el hijo derecho en la cola
            cola_enqueue(nodo_actual->der, &cola_nodos);
 
        } // al vaciarse la cola se han visitado todos los nodos del arbol
    }

Métodos para almacenar árboles binarios

Los árboles binarios pueden ser construidos a partir de lenguajes de programación de varias formas. En un lenguaje con registros y referencias, los árboles binarios son construidos típicamente con una estructura de nodos y punteros en la cual se almacenan datos, cada uno de estos nodos tiene una referencia o puntero a un nodo izquierdo y a un nodo derecho denominados hijos. En ocasiones, también contiene un puntero a un único nodo. Si un nodo tiene menos de dos hijos, algunos de los punteros de los hijos pueden ser definidos como nulos para indicar que no dispone de dicho nodo. En la figura adjunta se puede observar la estructura de dicha implementación.

Los árboles binarios también pueden ser almacenados como una estructura de datos implícita en vectores, y si el árbol es un árbol binario completo, este método no desaprovecha el espacio en memoria. Tomaremos como notación la siguiente: si un nodo tiene un índice i, sus hijos se encuentran en índices 2i + 1 y 2i + 2, mientras que sus padres (si los tiene) se encuentra en el índice (partiendo de que la raíz tenga índice cero). Este método tiene como ventajas el tener almacenados los datos de forma más compacta y por tener una forma más rápida y eficiente de localizar los datos en particular durante un preoden transversal. Sin embargo, desperdicia mucho espacio en memoria.

Codificación de árboles n-arios como árboles binarios

Hay un mapeo uno a uno entre los árboles generales y árboles binarios, el cual en particular es usado en Lisp para representar árboles generales como árboles binarios. Cada nodo N ordenado en el árbol corresponde a un nodo N' en el árbol binario; el hijo de la izquierda de N’ es el nodo correspondiente al primer hijo de N, y el hijo derecho de N' es el nodo correspondiente al siguiente hermano de N, es decir, el próximo nodo en orden entre los hijos de los padres de N.

Esta representación como árbol binario de un árbol general, se conoce a veces como un árbol binario primer hijo hermano, o un árbol doblemente encadenado.

Una manera de pensar acerca de esto es que los hijos de cada nodo estén en una lista enlazada, encadenados junto con el campo derecho, y el nodo sólo tiene un puntero al comienzo o la cabeza de esta lista, a través de su campo izquierdo.

Por ejemplo, en el árbol de la izquierda, la A tiene 6 hijos (B, C, D, E, F, G). Puede ser convertido en el árbol binario de la derecha.

Un ejemplo de transformar el árbol n-ario a un árbol binario cómo pasar de árboles n-arios a árboles FLOFO.

El árbol binario puede ser pensado como el árbol original inclinado hacia los lados, con los bordes negros izquierdos representando el primer hijo y los azules representado los siguientes hermanos.

Las hojas del árbol de la izquierda serían escritas en Lisp como:

    (((M N) H I) C D ((O) (P)) F (L)) 

Que se ejecutará en la memoria como el árbol binario de la derecha, sin ningún tipo de letras en aquellos nodos que tienen un hijo izquierdo.

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