Sistema de ecuaciones diferenciales

Sistema de ecuaciones diferenciales

Un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de varias ecuaciones diferenciales con varias funciones incógnitas y un conjunto de condiciones de contorno. Una solución del mismo es un conjunto de funciones diferenciables que satisfacen todas y cada una de las ecuaciones del sistema. Según el tipo de ecuaciones diferenciales pude tenerse un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias o un sistema de ecuaciones en derivadas parciales.

Contenido

Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias

En un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de cualquier orden, puede ser reducido a un sistema equivalente de primer orden, si se introducen nuevas variables y ecuaciones. Por esa razón en este artículo sólo se consideran sistemas de ecuaciones de primer orden. Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden escrito en forma explícita es un sistema de ecuaciones de la forma:

\begin{cases} \cfrac{dx_1}{dt} = F_1(x_1,x_2,\ldots,x_n;t)\\ \cfrac{dx_2}{dt} = F_2(x_1,x_2,\ldots,x_n;t)\\ \ldots \\ \cfrac{dx_n}{dt} = F_n(x_1,x_2,\ldots,x_n;t) \end{cases}

Reducción a un sistema de primer orden

Dado un sistema de ecuaciones diferenciales de orden n con m ecuaciones:

F_i\left(x_j,\frac{dx_j}{dt},\ldots,\frac{d^nx_i}{dt^n};t\right) =0 \qquad \mbox{con}\ i,j\in\{1,2,\ldots,m\}

Existe un sistema equivalente de primer orden con a lo sumo (n+1)xm ecuaciones. Para ver esto consideremos un sistema en que intervienen m funciones incógnitas xi y sus n derivadas, e introduzcamos un nuevo conjunto de variables yi,k definidos de la siguiente manera:

y_{i,k}(t) := \frac{d^k x_i(t)}{dt^k}

El sistema de primer orden equivalente en las variables yi,k resulta ser:

\begin{cases} y_{i,k+1} = \cfrac{dy_{i,k}}{dt} & k\in\{0,2,\ldots,n-1\}\\ F_i\left(y_{j,0},y_{j,1},\ldots,y_{j,n};t\right) =0 & i,j\in\{1,2,\ldots,m\} \end{cases}

Como ejemplo de reducción de un sistema de ecuaciones diferenciales podemos considerar las ecuaciones de movimiento de la mecánica newtoniana de una partícula que es un sistema de segundo orden con tres ecuaciones:

\begin{cases} m\cfrac{d^2x}{dt^2} = F_x\left(x,y,z;\cfrac{dx}{dt},\cfrac{dy}{dt},\cfrac{dz}{dt};t\right)\\ m\cfrac{d^2y}{dt^2} = F_y\left(x,y,z;\cfrac{dx}{dt},\cfrac{dy}{dt},\cfrac{dz}{dt};t\right)\\ m\cfrac{d^2z}{dt^2} = F_z\left(x,y,z;\cfrac{dx}{dt},\cfrac{dy}{dt},\cfrac{dz}{dt};t\right) \end{cases}

Si se introducen tres funciones incógnita nuevas que representan la velocidad, el sistema anterior se puede reducir a un sistema de primer orden y seis ecuaciones:

\begin{cases} m\cfrac{dx}{dt} = v_x(t), & m\cfrac{dv_x}{dt} = F_x\left(x,y,z;v_x,v_y,v_z;t\right)\\ m\cfrac{dy}{dt} = v_y(t), & m\cfrac{dv_y}{dt} = F_y\left(x,y,z;v_x,v_y,v_z;t\right)\\ m\cfrac{dz}{dt} = v_z(t), & m\cfrac{dv_z}{dt} = F_z\left(x,y,z;v_x,v_y,v_z;t\right) \end{cases}

Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales ordinarias

Sistemas lineales de coeficientes constantes

Un sistema lineal de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes es un sistema de la forma:

No se pudo entender (La conversión a PNG ha sido errónea): \begin{cases} \dot\mathbf{X}(t) = \begin{Bmatrix} \dot{X}_1(t)\\ \ldots\\ \dot{X}_n(t) \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} X_1(t)\\ \ldots\\ X_n(t) \end{Bmatrix}+ \begin{Bmatrix} f_1(t)\\ \ldots \\ f_n(t)\end{Bmatrix} =\mathbf{A}\mathbf{X}(t)+\mathbf{f}(t) \\ \mathbf{X}(t_0) = \mathbf{X}_0 \end{cases}

Donde \mathbf{X}(t) representa el vector de funciones incógnita. La solución de este sistema viene dada por la exponenciación de la matriz de coeficientes:

\mathbf{X}(t) = e^{\mathbf{A}(t-t_0)}\mathbf{X}_0 + \int_{t_0}^t e^{\mathbf{A}(t-s)}\mathbf{f}(s)\ ds

Como ejemplo podemos considerar el siguiente sistema homogéneo:

No se pudo entender (La conversión a PNG ha sido errónea): \dot\mathbf{X}(t) = \begin{Bmatrix} \dot{X}_1\\ \dot{X}_2 \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} X_1\\ X_2 \end{Bmatrix} \qquad \mathbf{X}(0) = \begin{Bmatrix} 1\\ 1 \end{Bmatrix}

Los valores propios de la matriz son 3\pm 4i y por tanto la exponenciación de la matriz da lugar a funciones trigonométricas al tener parte imaginaria no nula, de hecho, la solución calculada a partir de la exponenciación resulta:

X_1(t) = e^{3t}(\cos 4t - \sin 4t) \qquad X_2(t) = e^{3t}(\cos 4t + \sin 4t)

Sistemas lineales generales

Un sistema de ecuaciones diferenciales general tiene la forma:[1]

(*) \dot{\mathbf{X}}(t) = \mathbf{A}(t)\mathbf{X}(t) + \mathbf{f}(t), \qquad \mathbf{X}(t_0) = \mathbf{X}_0,\ t_0\in [t_1,t_2]

Donde:

\mathbf{f}(t) \in \R^n es una función vectorial.
\mathbf{A}(t) \in \mathcal{L}(R^n,R^n) es una función matricial.

Existencia y unicidad de la solución

El teorema de Peano-Picard establece mediante una demostración constructiva la existencia y unicidad de la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma (*) en las que tanto la matriz \mathbf{A}(t) como la función \mathbf{f}(t) sean continuas en un intervalo compacto [t_0,t_0+T]\,. El teorema procede por inducción construyendo una serie de funciones vectoriales que converge hacia la solución única del problema:

(**) \mathbf{X}_{k+1}(t):= \mathbf{X}_0 + \int_{t_0}^{t} [\mathbf{A}(s)\mathbf{X}_{k}(s)+\mathbf{f}(s)]\ ds, \qquad \mathbf{X}_0(t):= \mathbf{X}_0

Probando que la anterior sucesión es una sucesión de Cauchy y dado que el espacio de funciones vectoriales continuas es completo se sigue existe un único límite de dicha solución. Se puede probar que dicho límite es precisamente la solución buscada.

Aunque el teorema prueba la existencia y unicidad, el método constructivo puede no resultar un método práctico para encontrar una buena aproximación a la solución y mucho menos la solución analítica.

Referencia

  1. ↑ F. Marcellán, 1990, p. 193

Bibliografía

  • F. Marcellán et al. (1990): Ecuaciones diferenciales, McGraw-Hill, Madrid, ISBN 84-7615-511-5.

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