Suma directa

Suma directa

Un coproducto o suma directa para una familia (A_i)_{i \in I} de objetos en una categoría C, es un objeto S de C, junto a una familia de morfismos f_i: A_i \to S (i \in I) tal que para cualquier objeto B y una famila de morfismos g_i:A_i \to B, existe un único morfismo g:S \to B tal que g \circ f_i = g_i.

No hay una notación uniforme para los coproductos o sumas directas y algunas veces se denota \oplus_{i \in I} A_i.

Ejemplos

  • Consideremos un anillo R y la categoría de R-módulos a izquierda. En este caso la suma directa existe y es única. La construcción se puede hacer de la siguiente manera: sea (A_i)_{i \in I} una familia de R-módulos a izquierda, entonces S := \{ (a_i)_{i \in I}: a _i \in A_i y excepto un número finito todos los ai son cero} y f_i: A_i \to S es la inclusión de Ai en la i-ésima coordenada.

La suma de elementos de S es coordenada a coordenada y el producto de un elemento de R por uno de S, también es coordenada a coordenada.

  • Un caso particular de lo anterior es cuando R es cuerpo, es decir cuando estamos en la categoría de espacios vectoriales sobre un cuerpo dado. En este caso, dado V espacio vectorial y W, U dos subespacios de V, tales que W \cap U= \{0\}, podemos definir la suma directa interna, denotada W \oplus U, como el subespacio generado por W y U. No es difícil probar que este subespacio es isomorfo a la suma directa definida en el punto anterior.

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