- Suma directa
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Un coproducto o suma directa para una familia
de objetos en una categoría C, es un objeto S de C, junto a una familia de morfismos
(
) tal que para cualquier objeto B y una famila de morfismos
, existe un único morfismo
tal que
.
No hay una notación uniforme para los coproductos o sumas directas y algunas veces se denota
.
Ejemplos
- Consideremos un anillo R y la categoría de R-módulos a izquierda. En este caso la suma directa existe y es única. La construcción se puede hacer de la siguiente manera: sea
una familia de R-módulos a izquierda, entonces
y excepto un número finito todos los ai son cero} y
es la inclusión de Ai en la i-ésima coordenada.
La suma de elementos de S es coordenada a coordenada y el producto de un elemento de R por uno de S, también es coordenada a coordenada.
- Un caso particular de lo anterior es cuando R es cuerpo, es decir cuando estamos en la categoría de espacios vectoriales sobre un cuerpo dado. En este caso, dado V espacio vectorial y W, U dos subespacios de V, tales que
, podemos definir la suma directa interna, denotada
, como el subespacio generado por W y U. No es difícil probar que este subespacio es isomorfo a la suma directa definida en el punto anterior.
- Consideremos un anillo R y la categoría de R-módulos a izquierda. En este caso la suma directa existe y es única. La construcción se puede hacer de la siguiente manera: sea
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