Subespacio vectorial

Subespacio vectorial

En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que debe cumplir ciertas características específicas.

Contenido

Definición

Sean (V, +, K, *) un espacio vectorial y S un subconjunto de V.

S es subespacio vectorial de V si (S, +, K, *) es espacio vectorial en sí mismo, siendo + y * las mismas operaciones definidas en V. Las bases de un subespacio son el subconjunto de "alfa" y "beta" en el menor subespacio formado por la recta que pasa por dos puntos. (Las condiciones que tienen que cumplir el conjunto de vectores para ser base son 2: ser generadores, y ser Linealmente Independiente.)

Condición de existencia de subespacio

El criterio para la verificación de que S sea subespacio de V, es que ambas operaciones ( la ley de composición interna (+) entre elementos del conjunto S y la ley de composición externa (*) con escalares del cuerpo K ) sean cerradas, es decir, den como resultado elementos que también pertenezcan a S. Estas antes mencionadas se dan con la suma y la multiplicación para los vectores. Un espacio vectorial también llamado espacio muestral es el que denomina el falso y el verdadero. Para ello se definen 4 axiomas que de cumplirse, garantizan la existencia del subespacio vectorial. Sea V un espacio vectorial, se define S como subespacio vectorial si y solo si:

1. S no es un conjunto vacío.
S \neq \emptyset
2. S es igual o está incluido en V.
S \subseteq V
3. La suma es ley de composición interna.
\forall \vec{x} \in S \land \forall \vec{y} \in S \Rightarrow \vec{x} + \vec{y} \in S
4. El producto es ley de composición externa.
\forall \vec{x} \in S \land \forall a \in K \Rightarrow a \cdot \vec{x} \in S

Si estas cuatro condiciones se cumplen entonces el conjunto es un subespacio.

Observación: Del cumplimiento de la condición 4 puede deducirse que todos los subespacios deben contener al cero (como S es un conjunto no vacío debe tener al menos un elemento. Por la propiedad 4, multiplicando escalarmente a este elemento por 0, obtenemos que el 0 debe estar en S).

Operaciones con subespacios

Sea (V, +, K, *) un espacio vectorial; (S, +, K, *) y (W, +, K, *) subespacios de V, se definen las siguientes operaciones:

Unión

S \cup W = [X \in V / X \in S \vee X \in W]
En la gran mayoría de los casos la unión de dos subespacios no es un subespacio de V, pues no se cumple con la ley de composición interna. Sí pertenece de forma segura la unión a V en los casos en que S este contenido en W o viceversa.

Intersección

S \cap W = [X \in V / X \in S \land X \in W]
La intersección de dos subespacios es un subespacio de V.

Suma

S + W = [X \in V / X = (X_1 + X_2) \wedge X_1 \in S \wedge X_2 \in W]
La suma de dos subespacios es un subespacio de V.

Suma directa

Si la intersección entre S y W es el subespacio trivial (es decir, el vector nulo), entonces a la suma se la llama "suma directa".
Es decir que si S \cap W = \vec{0} \Rightarrow S \oplus W
Lo que quiere decir también que todo vector de V, se escribe de manera única como la suma de un vector de S y otro de W.

Dimensiones de subespacios

Esta fórmula resuelve que la dimensión de la suma de los subespacios S y W será igual a la dimensión del subespacio S más la dimensión del subespacio W menos la dimensión de la intersección de ambos.

Por ejemplo, siendo dim(S) = 3 y dim(W) = 2 y teniendo como intersección un subespacio de dimensión 1.
Luego, dim(S + W) = 4.

En la suma directa

En el caso particular de la suma directa, como S \cap W = \vec{0} \Rightarrow \dim(S \cap W) = 0.
La fórmula de Grassman resulta:

\dim(S \oplus W)=\dim(S)+\dim(W)

Entonces en el ejemplo anterior, resultaría \dim(S \oplus W)=5.

Véase también


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