Tensor de campo electromagnético

Tensor de campo electromagnético

En electrodinámica clásica y teoría de la relatividad, el tensor de Faraday o tensor de campo electromagnético es un tensor 2-covariante y antisimétrico, cuyas componentes son las componentes de lo que en cada sistema de referencia se reflejan como parte eléctrica y parte magnética del campo:

\mathbf{F} =F^{\mu \nu} = \begin{pmatrix} 0 & -\cfrac{E_x}{c} & -\cfrac{E_y}{c} & -\cfrac{E_z}{c} \\ \cfrac{E_x}{c} & 0 & -B_z & B_y \\ \cfrac{E_y}{c} & B_z & 0 & -B_x \\ \cfrac{E_z}{c} & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix} \qquad \mbox{o bien} \qquad \mathbf{F} =F_{\mu \nu} = \begin{pmatrix} 0 & \cfrac{E_x}{c} & \cfrac{E_y}{c} & \cfrac{E_z}{c} \\ -\cfrac{E_x}{c} & 0 & -B_z & B_y \\ -\cfrac{E_y}{c} & B_z & 0 & -B_x \\ -\cfrac{E_z}{c} & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix}

Contenido

Componentes del tensor

El cuadripotencial A lleva en sus componentes la información de los potenciales. Sus coordenadas son en un sistema coordenado Lorentz:

A^\alpha = \left( \frac {\Phi}{c}, \mathbf{A} \right)

Donde \, \phi y A son el potencial eléctrico y el potencial vector magnético respectivamente.

El cuadripotencial es una 1-forma, para ponerlo en correspondecia con un objeto de rango 2, debemos hacer actuar la derivada exterior. Entonces podemos escribir la relación geométrica que relaciona el cuadripotencial con el tensor de campo electromagnético:

\, F=dA

Si utilizamos un sistema coordenado Lorentz podemos escribirlo en componentes de la siguiente forma.

F^{\mu \nu}=\partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu

Si recordamos como se relacionan los potenciales con los campos E y B, podremos encontrar las componentes del tensor campo electromagnético:

\mathbf{E}=-\nabla \phi - \cfrac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}, \qquad \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}

Por tanto las componentes del tensor se obtendán de la siguiente forma:

F^{01}=\partial^0 A^1 - \partial^1 A^0 = \frac {1}{c} \frac{\partial A_x}{\partial t} - \left( -\frac{\partial (\phi / c)}{\partial x} \right )= \frac {1}{c} \left [\frac{\partial A_x}{\partial t}+\frac{\partial \phi}{\partial x} \right ]=- \cfrac{E_x}{c}

Igualmente:

F^{02}= - \frac{E_y}{c}, \qquad F^{03}= - \frac{E_z}{c}

Para los índices espacial-espacial, tenemos que:

F^{12}=\part^1 A^2 - \part^2 A^1 = -\frac{\part A_y}{\part x}+\frac{\part A_x}{\part y}=-B_z, \quad F^{13}= B_y, \quad F^{23}= - B_x

Propiedades

  1. El tensor es antisimétrico: \, F^{\mu \nu}=-F^{\nu \mu}
    • Demostración: F^{\mu \nu}=\partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu=-(\partial^\nu A^\mu - \partial^\mu A^\nu)=-F^{\nu \mu}
  2. Los términos de la diagonal son nulos: \, F^{\mu \mu}=0
    • Demostración: F^{\mu \mu}=\partial^\mu A^\mu - \partial^\mu A^\mu=0
  3. Dado que F proviene de un potencial \, F=dA, se dice que es una 2-forma exacta. Según en Lema de Poincaré toda forma exacta tiene derivada exterior nula: \, dF=0
    • Esto implica que en los sistemas coordenados Lorentz se cumple: \partial_{\gamma} F_{\alpha\beta} + \partial_{\beta} F_{\gamma\alpha} + \partial_{\alpha} F_{\beta\gamma}=0
  4. El tensor es invariante bajo transformaciones gauge del cuadripotencial.
    • En coordenadas Lorentz, si escogemos un cuadripotencial distinto a Aμ, de la forma A_\mu+\partial_\mu\chi, donde χ es una función arbitraria, es inmediato comprobar que: F^{\mu \nu}=\partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu+\partial^\mu\partial^\nu\chi-\partial^\nu\partial^\mu\chi=\partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu.
    • De forma más geométrica, puesto que F = dA, tomando un cuadripotencial A + dχ, se obtiene F = d(A + dχ) = dA, puesto que la derivada exterior cumple d2 = 0.

Otras expresiones del tensor

Mediante el tensor métrico \, g_{\mu \nu} podemos bajar y subir índices. Por tanto el tensor campo electromagnético también se puede escribir mediante índices abajo (intercambiando así entre coordenadas covariantes y contravariantes):

\,F_{\alpha \beta}=g_{\alpha \mu}F^{\mu \nu}g_{\nu \beta}

Por tanto

F_{\mu \nu} = \begin{pmatrix} 0 & \cfrac{E_x}{c} & \cfrac{E_y}{c} & \cfrac{E_z}{c} \\ -\cfrac{E_x}{c} & 0 & -B_z & B_y \\ -\cfrac{E_y}{c} & B_z & 0 & -B_x \\ -\cfrac{E_z}{c} & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix}

Tensor dual

Véase también


Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Mira otros diccionarios:

  • Campo electromagnético — Saltar a navegación, búsqueda Un Campo electromagnético es un campo físico, de tipo tensorial, que afecta a partículas con carga eléctrica. Fijado un sistema de referencia podemos descomponer convencionalmente el campo electromagnético en una… …   Wikipedia Español

  • Campo (física) — Saltar a navegación, búsqueda En física, un campo es cualquier magnitud física que presenta cierta variación sobre una región del espacio. En ocasiones campo se refiere a una abstracción matemática para estudiar la variación de una cierta… …   Wikipedia Español

  • Campo de Yang-Mills — Esquema perturbativo de QFT para la interacción de un electrón (e) con un quark (q), la línea azul representa un campo electromagnético (campo de Yang Mills con simetría U(1)) y la línea verde un campo de color (campo de Yang Mills con simetría… …   Wikipedia Español

  • Campo magnético — Para el álbum del músico francés Jean Michel Jarre, véase Les Chants Magnétiques. Líneas mostrando el campo magnético de un imán de barra, producidas por limaduras de hierro sobre papel. El campo magnético es una región de espacio en la cual una… …   Wikipedia Español

  • Tensor de presión de Maxwell — El tensor de presion de Maxwell es un tensor de segundo orden que da idea de la fuerza a la que está sometido un cierto elemento de superficie debido al campo electromagnético. Se define como: Donde Ek es la componente k ésima y δij es la delta… …   Wikipedia Español

  • Relatividad general — Algunas partes de este artículo pueden resultar complicadas, en ese caso se recomienda Introducción a la relatividad general Representación artística de la explosión de la supernova SN 2006gy, situada a 238 millones de años luz. De ser válido el… …   Wikipedia Español

  • Lagrangiano — En física, un lagrangiano es una función matemática a partir de la cual se pueden obtener la evolución temporal, las leyes de conservación y otras propiedades importantes de un sistema físico. De hecho, en física moderna el lagrangiano se… …   Wikipedia Español

  • Teoría clásica de campos — La teoría clásica de campos describe la dinámica de los fenómenos físicos macroscópicos descriptibles mediante un campo físico. Si bien potencialmente el concepto de campo engloba desde los campos de fuerzas clásicos, también la mecánica de… …   Wikipedia Español

  • Electromagnetismo — Ferrofluido que se agrupa cerca de los polos de un magneto poderoso. El electromagnetismo es una rama de la física …   Wikipedia Español

  • Ecuaciones de Maxwell — Las cuatro ecuaciones de Maxwell describen todos los fenómenos electromagnéticos, aquí se muestra la inducción magnética por medio de una co …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”