Tensor de presión de Maxwell

El tensor de presion de Maxwell es un tensor de segundo orden que da idea de la fuerza a la que está sometido un cierto elemento de superficie debido al campo electromagnético.

Se define como:

$T_{ij}=\epsilon_0(E_i E_j-\frac{1}{2}\delta_{ij}E^2)+\frac{1}{\mu_0}(B_iB_j-\frac{1}{2}\delta_{ij}B^2)$

Donde $E k$ es la componente k-ésima y $δ i j$ es la delta de Kronecker

Motivación

El tensor de presión electromagnética aparece a raiz de realizar el cálculo de la fuerza total que ejerce el campo electromagnéticoen sobre todas las cargas existentes. De este modo, la fuerza total es:

$\mathbf F=\oint_S\overset{\leftrightarrow}{\mathbf{T}} d\mathbf a-\epsilon_0\mu_0\frac{d}{dt}\int_V\mathbf S d\tau$

Donde S es el vector de Poynting

Desarrollo matemático

La fuerza total ejercida sobre todas las cargas viene dada por la fuerza de Lorentz:

$\mathbf F=\int_V(\rho\mathbf E+\mathbf J\times\mathbf B)d\tau$

Por tanto, la fuerza por unidad de volumen es:

$\mathbf f=\rho\mathbf E+\mathbf J\times\mathbf B$

Expresando las densidades de carga y corriente en función de los campos a través de las ecuaciones de Maxwell se tiene:

$\mathbf f=\epsilon_0(\nabla\cdot\mathbf E)\mathbf E+(\frac{1}{\mu_0}\nabla\times\mathbf B-\epsilon_0\frac{\partial \mathbf E}{\partial t})\times\mathbf B$

Empleando:

$\frac{\partial}{\partial t}(\mathbf E\times\mathbf B)=\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}\times\mathbf B + \mathbf E \times \frac{\partial\mathbf B}{\partial t}=\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}\times\mathbf B- \mathbf E \times (\nabla\times\mathbf E)$

Sustituyendo la anterior expresión en la fuerza por unidad de volumen y sumando el término nulo $(\nabla\cdot\mathbf B)\mathbf B$ (el anterior término podemos sumarlo sin variar el resultado ya que $\nabla\cdot\mathbf B=0$ ) tenemos que:

$\mathbf f=\epsilon_0[(\nabla\cdot\mathbf E)\mathbf E-\mathbf E\times(\nabla\times\mathbf E)]-\frac{1}{\mu_0}[(\nabla\cdot\mathbf B)\mathbf B-\mathbf B\times(\nabla\times\mathbf B)]-\epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}(\mathbf E\times\mathbf B)$

Empleando las identidades vectoriales:

$\nabla(E^2)=2(\mathbf E\cdot\nabla)\mathbf E+2\mathbf E\times(\nabla\times\mathbf E)$

$\nabla(B^2)=2(\mathbf B\cdot\nabla)\mathbf B+2\mathbf B\times(\nabla\times\mathbf B)$

Se tiene que la expresión de la fuerza queda:

$\mathbf f=\epsilon_0[(\nabla\cdot\mathbf E)\mathbf E+(\mathbf E\cdot\nabla)\mathbf E]+\frac{1}{\mu_0}[(\nabla\cdot\mathbf B)\mathbf B+(\mathbf B\cdot\nabla)\mathbf B]-\frac{1}{2} \nabla(\epsilon_0E^2+\frac{1}{\mu_0} B^2)-\epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}(\mathbf E\times\mathbf B)$

El tensor de Maxwell se define como:

$T_{ij}=\epsilon_0(E_i E_j-\frac{1}{2}\delta_{ij}E^2)+\frac{1}{\mu_0}(B_iB_j-\frac{1}{2}\delta_{ij}B^2)$

de forma que:

$\nabla\overset{\leftrightarrow}{\mathbf{T}}=\epsilon_0[(\nabla\cdot\mathbf E)\mathbf E+(\mathbf E\cdot\nabla)\mathbf E]+\frac{1}{\mu_0}[(\nabla\cdot\mathbf B)\mathbf B+(\mathbf B\cdot\nabla)\mathbf B]-\frac{1}{2} \nabla(\epsilon_0E^2+\frac{1}{\mu_0} B^2)$

La fuerza por unidad de volumen queda introduciendo el anterior tensor y el vector de Poynting como:

$\mathbf f=\nabla\overset{\leftrightarrow}{\mathbf{T}}-\epsilon_0\mu_0\frac{\partial}{\partial t}\mathbf S$

La fuerza total resulta aplicando el teorema de la divergencia:

$\mathbf F=\int_V\mathbf f d\tau=\oint_S\overset{\leftrightarrow}{\mathbf{T}} d\mathbf a-\epsilon_0\mu_0\frac{d}{dt}\int_V\mathbf S d\tau$

Véase también

Vector de Poynting

Referencias

David J. Griffiths, Introduction to electrodynamics

Categorías:

Tensores
Electromagnetismo

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