- Teorema de Artin-Wedderburn
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El teorema de Wedderburn-Artin establece que un anillo semisimple A es isomorfo a un producto de
anillos de matrices de orden
sobre anillos de división
donde
,
y
están determinados de forma única salvo el orden
. Como consecuencia se obtiene que cualquier anillo simple y artiniano por la izquierda (o por la derecha) es isomorfo a un anillo de matrices de orden n sobre un anillo de división.
El teorema de Wedderburn-Artin reduce el problema de clasificar anillos simples sobre un anillo de división a clasificar anillos de división que contienen un anillo de división dado. Y esto todavía puede simplificarse más: el centro de un anillo de división será un cuerpo K. Por lo tanto, A es una K-álgebra que tiene a K como centro. Así, un álgebra simple de dimensión finita es un álgebra simple central sobre K. Consecuentemente, el teorema de Wedderburn-Artin reduce el problema de clasificar las álgebras simples centrales de dimensión-finita al problema de clasificar anillos de división con un centro dado de antemano.
Ejemplos
Sea
el cuerpo de los números reales,
el de los números complejos, y
el anillo de división de los cuaterniones.
- Toda álgebra simple de dimensión finita sobre
es un anillo de matrices sobre
,
o
.
- Toda álgebra simple de dimensión finita sobre
es un anillo de matrices sobre
y por tanto, cada álgebra central simple sobre
es un anillo de matrices sobre
.
- Toda álgebra central simple de dimensión finita sobre un cuerpo finito es un anillo de matrices sobre ese cuerpo.
Véase también
- Toda álgebra simple de dimensión finita sobre
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