Teorema de Artin-Wedderburn

El teorema de Wedderburn-Artin establece que un anillo semisimple A es isomorfo a un producto de anillos de matrices de orden sobre anillos de división donde , y están determinados de forma única salvo el orden . Como consecuencia se obtiene que cualquier anillo simple y artiniano por la izquierda (o por la derecha) es isomorfo a un anillo de matrices de orden n sobre un anillo de división.

El teorema de Wedderburn-Artin reduce el problema de clasificar anillos simples sobre un anillo de división a clasificar anillos de división que contienen un anillo de división dado. Y esto todavía puede simplificarse más: el centro de un anillo de división será un cuerpo K. Por lo tanto, A es una K-álgebra que tiene a K como centro. Así, un álgebra simple de dimensión finita es un álgebra simple central sobre K. Consecuentemente, el teorema de Wedderburn-Artin reduce el problema de clasificar las álgebras simples centrales de dimensión-finita al problema de clasificar anillos de división con un centro dado de antemano.

Ejemplos

Sea el cuerpo de los números reales, el de los números complejos, y el anillo de división de los cuaterniones.

• Toda álgebra simple de dimensión finita sobre es un anillo de matrices sobre , o .
• Toda álgebra simple de dimensión finita sobre es un anillo de matrices sobre y por tanto, cada álgebra central simple sobre es un anillo de matrices sobre .
• Toda álgebra central simple de dimensión finita sobre un cuerpo finito es un anillo de matrices sobre ese cuerpo.

Véase también

• Teorema de Maschke