Teorema de Abel-Ruffini

En matemáticas el teorema de Abel o teorema de Abel-Ruffini postula que no puede resolverse por radicales las ecuaciones polinómicas generales de grado igual o superior a cinco.

Es decir, no es posible encontrar las soluciones de la ecuación general:

de grado superior o igual a cinco, aplicando únicamente un número finito de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y extracción de raíces a los coeficientes de la ecuación.

Aclaraciones

El contenido de este problema es generalmente mal entendido:

1. El teorema no afirma que las ecuaciones polinómicas de grado cinco o superior no tengan soluciones o que no puedan ser resueltas. De hecho, si la ecuación polinómica tiene coeficientes reales o complejos y permitimos soluciones complejas, entonces cualquier ecuación polinomial tiene soluciones; éste es el teorema fundamental del álgebra. Aunque estas soluciones no siempre pueden ser calculadas exactamente con un número finito de operaciones aritméticas, pueden serlo hasta cualquier grado de exactitud deseado usando métodos numéricos tales como el método de Newton-Raphson o el Método de Laguerre, y de ese modo no son diferentes de las soluciones de las ecuaciones polinómicas de segundo, tercero y cuarto grados.
2. El teorema solo se refiere a la forma que una solución debe tomar. El contenido del teorema es que la solución de una ecuación de grado cinco o superior no puede siempre ser expresada comenzando por los coeficientes y usando solo finitamente las operaciones de suma, multiplicación,y radicación.
3. El teorema es falso para ecuaciones de grados inferiores a cinco. Por ejemplo, las soluciones de la ecuación de segundo grado ax² + bx + c = 0 pueden ser expresadas en términos de adición, multiplicación y extracción de raíces como:

   

   Formas análogas para las ecuaciones polinómicas de tercer y cuarto grado, usando raíces cúbicas y cuartas, han sido conocidas desde el siglo XVI.

4. Para grados superiores o iguales a cinco, el teorema especifica que no puede resolverse por radicales cualquier ecuación pero hay ecuaciones particulares que sí pueden resolverse por radicales. Así, el teorema de Saüch-Ruffini dice que hay algunas ecuaciones de quinto grado cuya solución no puede ser expresada de ese modo como por ejemplo la ecuación 'x⁵ - x + 1 = 0 . Sin embargo, algunas otras ecuaciones de quinto grado pueden ser resueltas mediante radicales, por ejemplo x⁵ - x⁴ - x + 1 = 0.
5. El criterio preciso que separa aquellas ecuaciones que pueden ser resueltas mediante radicales de aquellas que no fue dado por Évariste Galois y es parte de la Teoría de Galois: una ecuación polinómica puede ser resuelta mediante radicales si y sólo si su grupo de Galois es un grupo resoluble. En el análisis moderno, la razón por la que las ecuaciones polinomiales de segundo, tercero y cuarto grado pueden ser resueltas mediante radicales mientras que las ecuaciones de grado superior no, es simplemente el hecho algebraico de que los grupos simétricos S2, S3 y S4 son grupos resolubles, mientras que Sn no es resoluble para n ≥ 5.

Demostración

La siguiente prueba esta basada en la Teoría de Galois. Uno de los teoremas fundamentales de la teoría de Galois dice que una ecuación se puede resolver en radicales si, y solo si tiene un Grupo de Galois que se puede resolver, entonces la prueba del teorema de Abel-Ruffini viene de computar el grupo de Galois del polinomio general de quinto grado.

Sea y₁ un número real trascendente sobre el campo de los números racionales Q, y sea y₂ un número real trascendental sobre Q(y₁), y así hasta y₅ que es trascendental sobre Q(y₁,y₂,y₃,y₄). Estos números son llamados elementos trascendentales independientes sobre Q. Sea E = Q(y₁,y₂,y₃,y₄,y₅) y sea