Teorema de Maxwell-Betti

Teorema de Maxwell-Betti

El teorema de Maxwell-Betti, o de forma más completa, teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti de resistencia de materiales se debe al matemático italiano Enrico Betti, quien en 1872 generalizó un teorema de Maxwell, publicado a su vez en 1864. Este teorema pertenece a una serie de teoremas energéticos, entre los que se encuentran también los teoremas de Castigliano. La importancia de los teoremas energéticos radica en su potencia en el análisis de estructuras, que se debe a su sencillez y generalidad. Este teorema es también de importancia en el planteamiento del Método de elementos de frontera.

Contenido

Coeficientes de influencia

Sea un sólido elástico que se somete a un sistema de fuerzas, asumiendo las siguientes hipótesis:

  • En cualquier punto del sólido, cada fuerza produce una deformación proporcional a la misma (ley de Hooke: linealidad entre tensiones y deformaciones).
  • Se verifica el Principio de superposición.
  • La aplicación de cualquier fuerza sobre el sólido no modifica la línea de acción de las restantes cargas aplicadas.
  • Las fuerzas se aplican de manera progresiva y lineal, no dando lugar a vibraciones ni a intercambio de calor con el exterior.

Sean i y j dos puntos del sólido elástico, denominándose \Delta_{ij}\, al desplazamiento del punto i al aplicar en j una fuerza F_j \,. En virtud de la primera de las hipótesis anteriormente citadas, se puede afirmar que:

\Delta_{ij} \propto F_j \,

Si aplicamos un conjunto de n fuerzas sobre el sólido elástico, aplicando el principio de superposición se tendrá que el desplazamiento total del punto i será:

\Delta_i = \Delta_{i1}+\Delta_{i2}+\cdots+\Delta_{in} \,

Sea \delta_{ij}\, la proyección del desplazamiento del punto i sobre la dirección de la fuerza aplicada en él, F_i \,, cuando se aplica en j una carga unitaria F^*_j \,. Estos desplazamientos proyectados sobre la línea de acción de la fuerza son los que producen trabajo (recuérdese que el trabajo se calcula como el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento). Definiendo de este modo \delta_{ij} \,, y teniendo en cuenta la proporcionalidad entre fuerzas actuantes y deformaciones enunciada anteriormente, se puede expresar el desplazamiento total del punto i proyectado en la dirección de F_i \,, de la siguiente manera:

\delta_i = \delta_{i1}F_1+\delta_{i2}F_2+\cdots+\delta_{in}F_n = \sum_{j} {\delta_{ij}F_j}

A los coeficientes \delta_{ij} \, se les denomina coeficientes de influencia y representan la componente del desplazamiento que provoca una carga unitaria aplicada sobre j en el punto i, en la dirección de F_i \,.

La definición de los coeficientes de influencia se debe a Clapeyron.

Energía de deformación

Supongamos un sólido elástico inicialmente descargado, y que empezamos a cargarlo con una fuerza \alpha F_1, \alpha\in(0,1). Debido a las hipótesis expresadas anteriormente, existe proporcionalidad entre fuerzas y desplazamientos de modo que a un determinado incremento relativo de la fuerza le corresponde el mismo incremento relativo del desplazamiento, o lo que es lo mismo, la pendiente de una gráfica fuerza-desplazamiento es constante. Y por tanto, a la aplicación de una fuerza \alpha F_1 \, le corresponderá un desplazamiento \alpha \delta_1 \,.

La energía de deformación acumulada durante todo el proceso de carga será igual al área que queda por debajo de la recta representada en la gráfica fuerza-desplazamiento, es decir, el área de un triángulo:

W(F_1) = \frac{1}{2} F_1 \delta_1 \,

Si el sólido elástico no se carga con una única fuerza, sino con un conjunto de ellas, aplicando el principio de superposición se tiene:

W(F_1, F_2, ...) = \frac{1}{2} \sum_{i} F_i{\delta_i}

Teniendo en cuenta lo dicho en el apartado dedicado a los coeficientes de influencia:

W(F_1, F_2, ...) = \frac{1}{2} \sum_{i} F_i \sum_{j}\delta_{ij} F_j \,

Teorema de Maxwell-Betti

Sea un cuerpo elástico lineal \scriptstyle K\in\mathbb{R}^3 sobre el que actúan dos conjuntos de fuerzas P_i \, y Q_j \, aplicados sobre los puntos del sólido A_i \, y B_j \,, respectivamente.

Sean \lambda_i \, los desplazamientos de los puntos A_i \, y \mu'_j \, los desplazamientos de los puntos B_j \, cuando solo actúan sobre el sólido elástico las fuerzas P_i \,. Análogamente, denominaremos \mu_j \, a los desplazamientos de los puntos B_j \, y \lambda'_i \, a los desplazamientos de los puntos A_i \, cuando solo actúa el conjunto de fuerzas Q_j \,. El trabajo realizado por las cargas no depende del orden de aplicación de las mismas, por lo que consideraremos dos casos:

1. Aplicamos en primer lugar el conjunto de fuerzas P_i \,, resultando la siguiente energía de deformación:
W(P_i) = \frac{1}{2} \sum_{i} P_i{\lambda_i}

A continuación añadimos el conjunto Q_j \,, quedando el total de la energía de deformación como sigue:

W(P_i, Q_j) = \frac{1}{2} \sum_{i} P_i{\lambda_i}+\frac{1}{2} \sum_{j} Q_j{\mu_j}+\sum_{i} P_i{\delta'_i}

El segundo término de la ecuación es debido al trabajo realizado por las fuerzas Q_j \, sobre sus puntos de aplicación, es decir, B_j \,, mientras que el tercer término se debe a que durante la aplicación de las fuerzas Q_j \, los puntos de aplicación de las fuerzas P_i \, se han desplazado una cantidad \lambda'_i \,, y en consecuencia las fuerzas P_i \, habrán realizado un trabajo. Este término no se divide por dos porque es un trabajo realizado por las fuerzas P_i \, que han permanecido constantes durante la realización del mismo, a diferencia de los otros dos términos en los cuáles el trabajo ha sido realizado durante un proceso de carga del sólido elástico, siendo de aplicación la fórmula deducida en el apartado dedicado a Energía de deformación.

2. En este segundo caso, aplicamos en primer lugar el conjunto de fuerzas Q_j \,, y a continuación añadimos el conjunto P_i \,, quedando entonces la energía de deformación como sigue:
W(Q_j, P_i) = \frac{1}{2} \sum_{j} Q_j{\mu_j}+\frac{1}{2} \sum_{i} P_i{\lambda_i}+\sum_{j} Q_j{\mu'_j}

Del mismo modo que en el primer caso, el tercer término se debe a que durante la aplicación de las fuerzas P_i \, los puntos de aplicación de las fuerzas Q_j \, se han desplazado una cantidad \mu'_j \,, y en consecuencia las fuerzas Q_j \, realizan un trabajo.

Tal y como hemos dicho al principio, la energía de deformación no depende del orden de aplicación de las cargas por lo que igualando las expresiones obtenidas en los dos casos considerados:

\sum_{i} P_i{\lambda'_i} = \sum_{j} Q_j{\mu'_j} \,

Esta igualdad es la que da lugar al Teorema de Maxwell-Betti, que puede enunciarse de la siguiente forma:

En un sólido elástico, el trabajo realizado por un sistema de fuerzas P_i \, al aplicar un sistema de fuerzas Q_j \, es igual al trabajo realizado por el sistema Q_j \, al aplicar P_i. \,


Enrico Betti

La principal consecuencia de este resultado es que los coeficientes de influencia recíprocos son iguales. En efecto, supongamos que tanto P_i = Q_j = 1 \,. Entonces el significado de \lambda'_i \, coincide con la definición del coeficiente de influencia \delta_{ij} \,, mientras que \mu'_j \, se corresponde con el coeficiente de influencia recíproco al anterior, es decir, \delta_{ji} \,, y por la expresión que define el Teorema de Maxwell-Betti, se tiene que:

\delta_{ij}=\delta_{ji} \,

Este teorema es de aplicación también en el caso de que no sean fuerzas sino momentos (o incluso fuerzas y momentos) las acciones aplicadas sobre el solido elástico, en cuyo caso los desplazamientos serán sustituidos por el ángulo de rotación correspondiente.

Un caso particular. Teorema de Maxwell

Previamente al teorema de Maxwell-Betti, en 1864, James Clerk Maxwell publicó un teorema denominado "Método de las Distorsiones o Desplazamientos Recíprocos", al que contribuyeron notablemente los trabajos de otros científicos como Mohr y Clapeyron. Se considera que este teorema da lugar al primer método de análisis para estructuras estáticamente indeterminadas. Se enuncia como sigue:

Si sobre un cuerpo elástico actúa una causa en un punto A, la deformación que se produce en otro punto del sistema B es igual a la que se produciría en A si la causa actuase en B .


J. C. Maxwell

Como vemos, este teorema no es sino un caso particular del general, expresado mediante el Teorema de Maxwell-Betti, puesto que aquí únicamente se considera la actuación de una fuerza y no un conjunto de ellas.

Véase también

Bibliografía

  • Ortiz Berrocal, L., Resistencia de materiales, McGraw-Hill, 2002, ISBN 84-481-3353-6.
  • Timoshenko, S., Resistencia de materiales. Teoría elemental y problemas, Espasa-Calpe, 1970, ISBN 84-239-6314-4.
  • Becker, A.A., The Boundary Element Method in Engineering: A Complete Course, McGraw-Hill, 1992, ISBN 978-0077074395.

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