Teorema de la aproximación lineal

Teorema de la aproximación lineal

Teorema de la aproximación lineal

Se debe suponer que z=f (x, y) es una función que posee derivadas parciales continuas en un punto (a, b). Por lo tanto el incremento ∆z en el punto (a, b) está dado por:

Alineal.gif

Demostración

Por definición:

Incremento.gif

Luego, se suma y resta el siguiente término:

Sumayresta.gif

Entonces nos queda:

Incremento terminon.gif

Separando convenientemente:

Termino1.gif (1)

Termino2.gif (2)

Se puede aplicar a (1) el teorema del valor medio de Lagrange, f (b) – f (a) = f’(c) (b –a), donde c es un número arbitrario, interior al intervalo (a, b):

Funcion1.gif

Como c es interior a (b, b+∆y):

Limite1.gif

Sabiendo que f (x) = L+ε, entonces:

Deriv1.gif

Por lo tanto, (1) queda:

1queda.gif

Se puede aplicar el mismo razonamiento para (2),

Funcion2.gif

El número arbitrario d es interior a (a, a+∆x):

Limite2.gif

Entonces queda,

Deriv2.gif

Y (2) resulta:

2queda.gif

Como ∆z = (1) + (2), entonces:

Alineal.gif

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