- Teorema de la aproximación lineal
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Teorema de la aproximación lineal
Se debe suponer que z=f (x, y) es una función que posee derivadas parciales continuas en un punto (a, b). Por lo tanto el incremento ∆z en el punto (a, b) está dado por:
Demostración
Por definición:
Luego, se suma y resta el siguiente término:
Entonces nos queda:
Separando convenientemente:
(1)
(2)
Se puede aplicar a (1) el teorema del valor medio de Lagrange, f (b) – f (a) = f’(c) (b –a), donde c es un número arbitrario, interior al intervalo (a, b):
Como c es interior a (b, b+∆y):
Sabiendo que f (x) = L+ε, entonces:
Por lo tanto, (1) queda:
Se puede aplicar el mismo razonamiento para (2),
El número arbitrario d es interior a (a, a+∆x):
Entonces queda,
Y (2) resulta:
Como ∆z = (1) + (2), entonces:
Categoría: Análisis matemático
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