- Algoritmo QMR
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El algoritmo QMR fue creado para resolver el sistema lineal Ax = b donde A es una matriz cuadrada que no requiere ser simétrica.
Contenido
Introducción
El algoritmo QMR Quasi-Minimal Residual se debe a Roland W. Freund y Noël M. Nachtigal los cuales en 1991 publicaron este algoritmo el cual se basa en la biortogonalización de Lanczos.
Quas-Minimal Residual
El algoritmo Quasi-Minimal Residual se basa en la Biortogonalización de Lanczos el cual es una extensión para matrices no simétricas de la ortogonalización de Lanczos simétrico.
Biortogonalización de Lanczos
EL proceso de Biortogonalización para matrices no simétricas de Lanczos, consiste en construir dos bases ortogonales a los subespacios y .
Para construir estas bases Biortogonales en los subespacios y se utilizara el algoritmo que se muestra a continuación
Luego de usar este algoritmo se garantiza en aritmética exacta que si y si i = j. Ahora con los valores αj, βj y δj obtenidos por el algoritmo anterior vamos a construir la matriz Tm como una tridiagonal de la siguiente forma.
Algoritmo Quasi-Minimal Residual
Se construye la matriz a partir de la que se obtuvo en la biortogonalización de Lanczos de la siguiente forma
Otras de las cosas que se usaran en el algoritmo es la factorización QR, la cual se obtiene aplicando las rotaciones Ωi obtenidas de la siguiente forma.
donde ci y si se consiguen de la siguiente forma.
Donde ai + 1,i corresponden a las respectivas entradas de la matriz luego de aplicarse las rotaciones .
Referencias
- R. W. Freund, N. M. Nachtigal (1991). «QMR: a quasi-minimal residual method for non-Hermitian linear systems». Numerische Mathematik 60.
- Yousef Saad (2000). Iterative methods for sparse linear systems. http://www-users.cs.umn.edu/~saad/PS.
Véase también
- en:Basic Linear Algebra Subprograms
- en:Automatically Tuned Linear Algebra Software
- Algoritmo TFQMR
- Subespacio de Krylov
Enlaces externos
Categorías:- Algoritmos
- Álgebra lineal numérica
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