- Fórmula de Tanaka
-
En el cálculo estocástico, la fórmula de Tanaka afirma que:
donde Bt es el movimiento browniano estándar, sgn es la función signo
y Lt es su tiempo local en 0 (el tiempo local empleado por B en 0 antes del tiempo t) dado por el límite L2
La fórmula de Tanaka es la descomposición Doob–Meyer explícita de la submartingala |Bt| con respecto a la martingala (la integral del lado derecho), y un proceso creciente continuo (tiempo local). También puede considerarse un análogo del lema de Ito para la función de valor no absoluto (irregular) f(x) = | x | , con f'(x) = sgn(x) y f''(x) = 2δ(x); véase, en tiempo local, una explicación formal del lema de Ito.
Descripción de la prueba
La función |x| no es una función diferenciable finita (C2) en x cuando x = 0, de manera que no es posible aplicar la fórmula de Ito directamente. Sin embargo, si la hacemos aproximar a cero (es decir, en [−ε, ε]) mediante parábolas
y aplicamos la fórmula de Ito, podremos entonces tomar el límite como ε → 0, lo que nos llevará a la fórmula de Tanaka.
Referencias
- Øksendal, B. K. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. 6a. ed. Berlín: Springer. ISBN 3-540-04758-1 (ejemplo 5.3.2)
- Shiryaev, A. N. (1999). Essentials of Stochastic Finance: Facts, Models, Theory. Advanced Series on Statistical Science & Applied Probability No. 3. Trad. N. Kruzhilin. River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co. ISBN 981-02-3605-0.
Categorías:- Ecuaciones
- Procesos estocásticos
- Teoremas de probabilidad
![L_{t} = \lim_{\varepsilon \downarrow 0} \frac1{2 \varepsilon} | \{ s \in [0, t] | B_{s} \in (- \varepsilon, + \varepsilon) \} |.](e/f8e9b15a74eb69953777b44a28438633.png)
Wikimedia foundation. 2010.
