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Espacios Lp
Los espacios Lp son los espacios vectoriales normados más importantes en el contexto de la teoría de la medida y de la integral de Lebesgue. Reciben también el nombre de espacio de Lebesgue por el matematico Henri Lebesgue.
Contenido
Definición
Consideremos (X,Σ,μ) un espacio de medida. Se define el espacio vectorial:
Como el espacio de todas las funciones medibles
que cumplen:
Asimismo, se define el espacio
como el espacio de las funciones medibles
que verifican:
Es decir, aquellas funciones medibles acotadas ctp. Una norma natural para definir en estos espacios sería:
, si
, y
Sin embargo, una aplicación así definida no resulta norma, ya que no se cumple
, pues cualquier función que sea igual a la función nula, salvo en un conjunto de medida nula, tendrá norma cero.
Así, se define la siguiente relación de equivalencia R sobre
:
ctp. Se prueba que efectivamente es una relación de equivalencia, y se defina
, i.e., el espacio vectorial cuyos elementos son las clases de equivalencia de la relación R. Considerando entonces sobre Lp las normas anteriormente definidas (donde f es cualquier representante de la clase de equivalencia), se prueba que
resulta ser norma y que su valor no depende del representante de la clase de equivalencia escogido. Usualmente no se hace distinción entre función y clase de equivalencia en este contexto.
Propiedades
- Lp es Banach
- L2 es un Espacio de Hilbert, dotado del producto interno
.
- Si
, entonces
r" style="max-width : 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/eswiki/54/6df5a336abe70b551b2538529b6eb7a2.png"> se tiene que
.
- Si
es reflexivo
- Si denotamos por Ε al espacio de las funciones simples, se cumple que
es denso en Lp.
- Si
, el dual topológico de Lp es Lq donde q es tal que
.
- Si el espacio de medida es σ-finito, entonces el dual de L1 se identifica con
.
- Si (X,Θ) es un espacio topológico localmente compacto separado, y μ es una medida regular, entonces
(el espacio de las funciones continuas a soporte compacto) es denso en Lp con
.
- El espacio de las funciones infinitamente derivables en un abierto
a soporte compacto y que están en Lp con
, es denso en Lp, es decir
.
Algunos Ejemplos Importantes
- Si
(su cardinalidad), entonces Lp = variables aleatorias Y que cumplen
.
- Si
es la Medida de Lebesgue, entonces el espacio es el de las funciones a una variable real usuales, con la medida usual en
.
Véase también
Categorías: Teoría de la medida | Análisis funcional
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