Función matemática

En la imagen se muestra una función entre un conjunto de polígonos y un conjunto de números. A cada polígono le corresponde su número de lados.

En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un círculo es función de su radio r: el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A = π·r². Del mismo modo, la duración T de un viaje en un tren circulando a una velocidad v de 150 km/h depende de la distancia d entre el origen y el destino: la duración es inversamente proporcional a la distancia, T = v / d. A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variable dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la distancia) es la variable independiente.

De manera más abstracta, el concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere en matemáticas a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto. Por ejemplo, cada número entero posee un único cuadrado, que resulta ser un número natural (incluyendo el cero):

...	−2 → +4 ,	−1 → +1 ,	±0 → ±0 ,
	+1 → +1 ,	+2 → +4 ,	+3 → +9 ,	...

Esta asignación constituye una función entre el conjunto de los números enteros Z y el conjunto de los números naturales N. Aunque las funciones que manipulan números son las más conocidas, no son el único ejemplo: puede imaginarse una función que a cada palabra del español le asigne su letra inicial:

... ,

Estación → E ,

Museo → M ,

Arroyo → A ,

Rosa → R ,

Avión → A,

...

Esta es una función entre el conjunto de las palabras del español y el conjunto de las letras del alfabeto español.

La manera habitual de denotar una función f es:

f : X → Y

x → f(x) ,

donde X es el dominio de la función f, su primer conjunto o conjunto de partida; e Y es el codominio de f, su segundo conjunto o conjunto de llegada. Por f(x) se denota la regla o algoritmo para obtener la imagen de un cierto objeto arbitrario x del dominio X, es decir, el (único) objeto de Y que le corresponde. En ocasiones esta expresión es suficiente para especificar la función por completo, infiriendo el dominio y codominio por el contexto. En el ejemplo anterior, las funciones «cuadrado» e «inicial», llámeseles f y g, se denotarían entonces como:

f : Z → N

k → k² , o sencillamente f(k) = k² ;

g : V → A

p → Inicial de p ;

si se conviene V = {Palabras del español} y A = {Alfabeto español}.

Una función puede representarse de diversas formas: mediante el citado algoritmo para obtener la imagen de cada elemento, mediante una tabla de valores que empareje cada valor de la variable independiente con su imagen —como las mostradas arriba—, o como una gráfica que dé una imagen de la función.

Contenido

1 Definición
2 Notación y nomenclatura
- 2.1 Ejemplos
3 Igualdad de funciones
4 Representación de funciones
5 Clasificación de las funciones
6 Álgebra de las funciones
7 Terminología, tradición y convenios
- 7.1 La notación funcional
8 Funciones (con valores) reales
- 8.1 Álgebra de Funciones
9 Funciones numéricas
10 Véase también
11 Referencia
12 Enlaces externos

Definición

Una función puede considerarse como un caso particular de una relación o de correspondencia matemática. Cada relación o correspondencia de un elemento $x\in X$ con un (y sólo un) $y\in Y$ se denota $f(x)=y\,$ , en lugar de $(x,y)\in f.$

Formalmente, pedimos que se cumplan las siguientes dos condiciones:

Condición de existencia: Todos los elementos de X están relacionados con elementos de Y, es decir, $\forall x\in X,\ \exists y\in Y\ \backslash \ (x,y)\in f.$

Condición de unicidad: Cada elemento de X está relacionado con un único elemento de Y, es decir, si $(x,y_1)\in f \and (x,y_2)\in f \Rightarrow y_1 = y_2.$

Notación y nomenclatura

Al dominio también se le llama conjunto de entrada o conjunto inicial. Se denota por ${\rm dom}(f)\,$ o ${\rm dom}_f\,$ . A los elementos del dominio se les llama habitualmente argumento de la función.

Al codominio, también llamado, conjunto de llegada, conjunto final o rango de f se le denota por

${\rm codom}(f)\,$ o $codom f$

Cabe señalar que el término rango es ambiguo en la literatura, ya que puede hacer referencia tanto al codominio como al conjunto imagen. Por ello, es aconsejable usar el término codominio.

Si x es un elemento del dominio al elemento del codominio asignado por la función y denotado por f(x) se le llama valor o imagen de la función f de x. Al subconjunto del codominio formado por todos los valores o imágenes se le llama imagen, alcance o recorrido de la función. Se denota por ${\rm im}(f)\,$ o ${\rm im}_f\,$ o $f(X)\,$ .

$Im(f) = f(X):= \left\{y \in Y \; | \; \exists x \in X, \; f(x)=y\right\}$

Una preimagen de un $y \in Y$ es algún $x\in X$ tal que $f(x)=y\,$ .

Note que puede haber algunos elementos del codominio que no sean imagen de un elemento del dominio, pero que cada elemento del dominio es preimagen de al menos un elemento del codominio.

Ejemplos

La función definida por $f(x)=x+1\,$ , tiene como dominio, codominio e imagen a todos los números reales $(\mathbb{R}).$

Función con Dominio X y Rango Y

Para la función $g \colon {\mathbb{R}} \to {\mathbb{R}}$ tal que $g(x)=x^2\,$ , en cambio, si bien su dominio y codominio son iguales a $\mathbb{R}$ , sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞.

En la figura se puede apreciar una función $f \colon X \to Y \,$ , con

${\rm D}_f = X = \{1, 2, 3,4\} \,$

${\rm C}_f \ = \; Y = \{a, b, c, d \} \,$

Note que a cada elemento de X le corresponde un único elemento de Y. Además, el elemento a de Y no tiene origen, y el elemento b tiene dos (el

1

y el

4

). Finalmente,

${\rm Im}_f = \{b, c, d\}\subseteq Y.$

Esta función representada como relación, queda: $X\times Y = \{(1,b), (2,c), (3,d), (4,b) \}$

Igualdad de funciones

Sean las funciones f: A → B y g: C → D, decimos que f es igual a g y escribimos f=g si y sólo si se cumple que ambas funciones:

tienen igual dominio, A=C,
tienen igual codomino, B=D, y
tiene la misma asignación, es decir que para cada x se cumple que f(x)=g(x).

Representación de funciones

Las funciones se pueden presentar de distintas maneras:

usando una relación matemática descrita mediante una expresión matemática: ecuaciones de la forma $y = f (x)$ . Cuando la relación es funcional, es decir satisface la segunda condición de la definición de función, se puede definir una función que se dice definida por la relación, A menos que se indique lo contrario, se supone en tales casos que el dominio es el mayor posible (respecto a inclusión) y que el codominio son todos los Reales. El dominio seleccionado se llama el dominio natural, de la función.

Ejemplo: y=x+2. Dominio natural es todos los reales.

Ejemplo: "Para todo x, número entero, y vale x más dos unidades".

Como tabulación: tabla que permite representar algunos valores discretos de la función.

Ejemplo:

   X| -2 -1  0  1  2  3
   Y|  0  1  2  3  4  5

Como pares ordenados: pares ordenados, muy usados en teoría de grafos.

Ejemplo: A={(-2, 0),(-1, 1),(0, 2),(1, 3), ... (x, x+2)}

Como gráfica: gráfica que permite visualizar las tendencias en la función. Muy utilizada para las funciones continuas típicas del cálculo, aunque también las hay para funciones discretas.

Ejemplo:

5						X
4					X
3				X
2			X
1		X
0	X
y / x	-2	-1	0	1	2	3

Clasificación de las funciones

Dados dos conjuntos X, Y, consideremos a todas las posibles aplicaciones (funciones) que pueden formarse entre estos dos conjuntos. Podemos diferenciar los siguientes casos:

Si a cada imagen le corresponde una única preimagen, inyectiva.
Si la imagen de la función es igual al codominio, sobreyectiva o suprayectiva.
Una función que sea inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, se denomina biyectiva .

Puede haber funciones que sean biyectivas, inyectivas pero no suprayectivas, supreyectiva pero no inyectiva o que no se cumple ninguna de esas condiciones, en cuyo caso no tiene un nombre específico.

'Definiciones alternas: sea $f: X \rightarrow Y$ dada y sea b un elemento cualquiera del codominio Y. Consideremos la ecuación

$f(x) = b \quad \text{(*)}$ .

la función es suprayectiva o sobreyectiva si, y sólo si, la ecuación (*) siempre tiene al menos una solución.
la función es inyectiva si, y sólo si, la ecuación (*) tiene a lo más una solución.
la función es biyectiva cuando, y sólo cuando, es inyectiva y suprayectiva a la vez.

Vamos a ilustrar esos diferentes tipos de funciones (aplicaciones) en un Diagrama de Venn, el conjunto universal U, representado por un rectángulo, es el conjunto de todas las posibles aplicaciones, el conjunto A es aquel de las aplicaciones inyectivas, y el conjunto B aquel de las sobreyectivas, esto nos permite ver los distintos tipos de aplicaciones de un modo gráfico.

Aplicación inyectiva y no sobreyectiva

En una función inyectiva, cada elemento imagen tiene única preimágen. Un función que no sea inyectiva, tendrá al menos dos elementos diferentes del dominio que tienen la misma imagen.

En una función suprayectiva (sobreyectiva) cada elemento del codominio es imagen de algún elemento del dominio. Una función no será suprayectiva, cuando al menos un elemento del codominio (conjunto final) no tenga una preimagen.

En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que pertenecen a A y no pertenecen a B, esto es las que pertenecen a la diferencia de A y B: A-B.

En estas aplicaciones la cardinalidad de X es siempre menor que la de Y, esto es el conjunto Y tendrá mayor número de elementos que X cuando tratamos de compararlos.

Ejemplo

en el diagrama de la figura:

todos los elementos de Y, que tienen origen, tienen un único origen, esto hace que la aplicación sea inyectiva

el elemento d de Y, no tiene ningún origen por lo que esta aplicación no es sobreyectiva.

Segundo ejemplo

Partiendo del conjunto de pinceles con pintura de colores:

$P = \{ \,$

$\} \,$

Sobre el conjunto de caras pintadas:

$C = \{ \,$

$\} \,$

Asociando cada pincel con la cara correspondiente:

Dado que cada pincel tiene una cara y solo una cara de su color esta correspondencia es una aplicación, como las caras que tiene pincel de su color, tienen un solo pincel de su color, la aplicación es inyectiva, y como la cara pintada de amarillo, no tiene ningún pincel de este color, la aplicación no es sobreyectiva.

Aplicación no inyectiva y sobreyectiva

Una aplicación no inyectiva tiene al menos un elemento imagen que tiene dos o más orígenes y una sobreyectiva todos los elementos del conjunto final tienen al menos un elemento origen.

En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que no pertenecen a A y si pertenecen a B, esto es las que pertenecen a la diferencia de B y A: B-A.

Para esta aplicación el conjunto X ha de tener mayor número de elementos que Y, la cardinalidad de X ha de ser mayor que la de Y.

Ejemplo

en el diagrama de la figura:

el elemento c de Y, tiene dos orígenes: el 3 y el 4, por lo que esta aplicación no es inyectiva.

todos los elementos de Y, tienen origen, esto hace que la aplicación sea sobreyectiva.

Segundo ejemplo

Igual que en el ejemplo anterior partiremos del conjunto de pinceles con pintura de colores:

$P = \{ \,$

$\} \,$

En este caso hay dos pinceles con pintura azul, pero a pasar de tener el mismo color de pintura son dos pinceles distintos.

Como conjunto final tenemos el conjunto de caras pintadas:

$C = \{ \,$

$\} \,$

Asociando cada pincel con la cara del mismo color, vemos que cada pincel tiene una cara pintada de su color y solo una, esto hace que la correspondencia sea una aplicación, la cara azul tiene dos pinceles de su mismo color, por lo que no es inyectiva, todas las caras tiene un pincel con su color, luego la aplicación es sobreyectiva.

Aplicación inyectiva y sobreyectiva (biyectiva)

Si una aplicación es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, se denomina biyectiva. Por ser inyectiva los elementos que tienen origen tienen un único origen y por ser sobreyectiva todos los elementos del conjunto final tienen origen.

En el diagrama de Venn el conjunto A es el de las aplicaciones inyectiva y el conjunto B el de las aplicaciones sobreyectiva, las aplicaciones biyectiva, que son inyectiva y sobreyectiva, será la intersección de A y B.

Estas dos circunstancias dan lugar a que el conjunto X e Y tengan el mismo número de elementos, la cardinalidad de X es la misma que la de Y, esto tiene una gran importancia cuando se pretende comparar dos conjuntos:

Si dados dos conjuntos podemos encontrar una aplicación biyectiva entre ellos, podemos afirmar, que los dos conjuntos tienen el mismo número de elementos. La cardinalidad de X es igual a la de Y.

Ejemplo

en el diagrama de la figura:

todos los elementos de Y, que tienen origen, tienen un único origen, esto hace que la aplicación sea inyectiva

todos los elementos de Y, tienen origen, esto hace que la aplicación sea sobreyectiva.

Si tomaremos por conjunto inicial el conjunto de los números naturales:

$X = \{1, 2, 3, ... \} \,$

y por conjunto final el de los números naturales pares:

$Y = \{2, 4, 6, ... \} \,$

Podemos ver que la relación

$f: X \rightarrow Y$

$f: x \mapsto 2x$

Por el que a cada número natural x de X, le asociamos un número par 2x de Y, se cumple:

f: es una aplicación, dado que a cada uno de los valores x de X le corresponde un único valor 2x de Y.
esta aplicación es inyectiva dado que a cada número par 2x de Y le corresponde un único valor x de X.
y es sobreyectiva porque todos los números pares tienen un origen

Esto nos permite afirmar que hay el mismo número de números naturales que de números naturales pares, se da la paradoja de que los números naturales pares en un subconjunto propio de los números naturales, esta circunstancia solo se da con los conjuntos infinitos.

Segundo ejemplo

Tomando el conjunto de pinceles como conjunto inicial:

$P = \{ \,$

$\} \,$

y el de caras como conjunto final:

$C = \{ \,$

$\} \,$

La correspondencia que asocia cada pincel con la cara de su mismo color es una aplicación porque todos los pinceles tienen una cara con su color y solo una cara de ese color, la aplicación es inyectiva porque un pincel corresponde con una sola cara, y es sobreyectiva porque todas las caras tiene un pincel de su color, al ser inyectiva y sobreyectiva simultáneamente esta aplicación es biyectiva.

Una aplicación biyectiva hace corresponder los elementos del conjunto inicial con los del conjunto final uno a uno, pudiéndose decir que hay el mismo número de elementos en el conjunto inicial que en el final.

Aplicación no inyectiva y no sobreyectiva

Una aplicación no inyectiva tendrá al menos un elemento imagen que tenga dos o más orígenes y una no sobreyectiva tendrá al menos un elemento del conjunto final que no tenga elemento origen. Este tipo de aplicaciones no tiene un nombre específico y quizá sean las que presenten, desde el punto de vista matemático, un menor interés.

Para esta aplicación los conjuntos X e Y no son comparables, y no podemos plantear ningún supuesto sobre su cardinalidad, partiendo de su comparación, ni sobre su número de elementos.

En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que no pertenecen a A y no pertenecen a B, esto es las que no pertenecen a la unión de A y B.

Ejemplo

en el diagrama de la figura:

el elemento b de Y, tiene dos orígenes: 1 y 2, esto hace que esta aplicación no sea inyectiva

el elemento a de Y, no tiene ningún origen por lo que esta aplicación no es sobreyectiva

el elemento se obtiene cuando dos funciones con el mismo numerador se conectan de forma biyectiva y no se utiliza en ningún momento la sobreyectiva por medidas de aseguracion la función se emplea de forma rotativa y no se representa en las gráficas

Segundo ejemplo

Si tomamos como conjunto inicial el de pinceles de colores:

$P = \{ \,$

$\} \,$

y como conjunto final el de caras coloreadas:

$C = \{ \,$

$\} \,$

Vemos que todos los pinceles tiene una cara y solo una cara de su mismo color, luego esta correspondencia es una aplicación matemática.

Como la cara azul tiene dos pinceles de su color la aplicación no es inyectiva, y como la cara amarilla no tiene ningún pincel de ese color no es sobreyectiva, luego esta aplicación es no inyectiva y no sobreyectiva.

Resumen

Sobreyectiva, no inyectiva

Inyectiva, no sobreyectiva

Biyectiva

No sobreyectiva, no inyectiva

Álgebra de las funciones

La composición de funciones

Artículo principal: Función compuesta

Dadas las funciones f: A → B y g: B → C, (o sea, donde la imagen de f está contenida en el dominio de g), se define una función composición (g ο f ): A → C tal que (g ο f)(x) = g (f(x)), para todos los elementos x de A.

$A \to \,\,B\;\; \to \;\;\,C$

$x \mapsto f(x) \mapsto g(f(x))$

La función identidad

Artículo principal: Función identidad

Dado un conjunto $\, A \,$ , la función $\; e_A \colon A \to A \,$ que asigna a cada $x$ de $A \,$ el mismo $x$ de $A$ , se denomina función identidad. También se simboliza por $1 A$ o $i d A$ .

Dada cualquier función $f \colon A \to B$ , se cumple que $e_B\circ f \colon A \to B$ es igual a $f$ y que $f\circ e_A \colon A \to B$ es también igual a $f\,$ , puesto que tenemos que para todo $x, \;\; f(e_A(x))=f(x)$ y también $\;\; e_B(f(x))=f(x)$

$\; e_B \circ f = f \circ e_A = f \;$

Se verifica que

la composición de dos funciones inyectivas es inyectiva.
la composición de dos funciones suprayectivas es suprayectiva.
la composición de dos funciones biyectivas es biyectiva.

La restricción de una función

Sea $C$ un subconjunto de $A$ . La inclusión de $C$ en $A$ permite definir una función de $C$ en $A$ que asigna a cada elemento de $C$ el mismo elemento, pero considerado como elemento de $A$ . Decimos que tal función es la función definida por la inclusión.

Sea $f: A \rightarrow B$ y sea $C\,$ un subconjunto de $A\,$ . Sea $i$ la función definida por la inclusión. La composición $f \circ i$ define una función de $C\,$ en $B\,$ que se llama la restricción de f a C y que se denota por $f\big|_{C}$ .

Advertencia: muchas veces, especialmente con funciones numéricas, se usa la misma notación para la función y su restricción, esperando que del contexto pueda deducirse la diferencia.

Función inversa

Artículo principal: Función recíproca

Dada una función $f \colon A \to B \,\;$ , se llama una (función) inversa de $f \;$ , a una función $g \colon B \to A \,$ tal que se cumple las siguientes condiciones:

$g \circ f = 1_A \qquad f \circ g = 1_B$ .

Decimos también que la función f es invertible

Cuando existe una función inversa de f, se demuestra que esa función es única, por lo que se habla de la inversa y se la denota por $f^{-1}\,$ .

Se verifica también las siguientes propiedades.

Una función tiene inversa si, y sólo si, es biyectiva.
La función inversa de una función es invertible, y su inversa es la función original. O sea que $(f - 1) - 1 = f$ .
La composición de dos funciones invertibles es invertible, y su inversa es la composición de las inversas de los factores pero con el orden invertido.

$(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$ .

El grupo simétrico o grupo de las funciones biyectivas

Sea A un conjunto no vacío y Biy(A) el conjunto formado por todas las funciones biyectivas de A en sí mismo. El conjunto Biy(A) no es vacío, porque al menos la función identidad está en ese conjunto. Además, recordando que las funciones biyectivas coinciden con las funciones invertibles, tenemos que la composición de funciones define una operación algebraica en Biy(A). Se verifica que

La composición es una operación asociativa, es decir, dadas tres funciones cualesquiera se cumple que $(f_i \circ f_j) \circ f_k = f_i \circ (f_j \circ f_k) \,$
La función identidad es un neutro respecto a la operación. O sea, $\forall f \in Biy(A)$ , tenemos que $f\circ 1_A = 1_A \circ f = f$ .
Cada elemento f de Biy(A) tiene un inverso respecto a la operación: la función inversa de f. O sea que $f^{-1} \circ f = f\circ f^{-1} = 1_A$ .

Estas tres condiciones determinan lo que se llama un grupo. Por lo que el conjunto de las funciones biyectivas $A \to A$ , Biy(A) es un grupo con respecto a la operación de composición de funciones que recibe el nombre de grupo simétrico de $A\,$ .

Cuando A es un conjunto finito, digamos con n elementos, las biyecciones de A se llaman también permutaciones, por lo que el grupo simétríco de A se llama también grupo de permutaciones.

Terminología, tradición y convenios

La noción de función es fundamental en matemáticas. la noción ha evolucionado desde su introducción en el siglo XVII hasta el presente, al igual que muchas otras de las nociones de matemáticas. Una de las fuentes de la noción es el estudio del movimiento cinemática, de donde hemos heredado terminologías tales como constante, variable y parámetro.

Sea $f: A \rightarrow B$ una función. La notación y definición dadas son posteriores a la invención de la teoría de conjuntos, o sea posterior a los finales del siglo XIX. ¿Cómo se decía anteriormente que x era un elemento de $\mathbb R$ ? Diciendo que x era una variable real. Por extensión del concepto, se llamaba variables tanto a los elementos del dominio como aquellos del codominio; para distinguir entre ellos, los elementos del dominio eran las variables independientes mientras que aquellos del codominio eran las variables dependientes.

Por esa razón, funciones cuyo dominio sea un subconjunto de los Reales se denominan funciones de una variable real. ¿Por que "una"? Porque funciones cuyo dominio eran subconjuntos de ${\mathbb R}^2$ o ${\mathbb R}^3$ se llamaban funciones de dos o tres variables (reales) respectivamente. Actualmente, preferimos decir que se trata de funciones definidas sobre pares o tríos de números (usualmente considerados como vectores bidimensionales o tridimensionales, respectivamente).

En algunos contextos, la terminología está adaptada al tema de estudio, por ejemplo, en Física es usual la siguiente terminología.

Función escalar: Función del tipo $\mathbb{R} \ \rightarrow \mathbb{R}.$
Campo escalar: Función del tipo $\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}.$
Función vectorial: Función del tipo $\mathbb{R} \ \rightarrow \mathbb{R}^n.$
Campo vectorial: Función del tipo $\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m.$

La notación funcional

En muchos campos aplicados, inclusive a veces en textos de matemáticas, se encuentra la expresión "la función $f (x)$ ". De acuerdo a nuestra definición actual, lo anterior no hace sentido, ya que f(x) es una notación para el elemento del codominio. Otras veces, nos encontramos con algo así como "la función f(x) = x^2 - 3x + 7". Aunque aquí hay una posible asignación, no se ha especificado ni el dominio ni el codominio, por lo que en rigor la función f no está bien definida.

En ciertos contextos, por ejemplo de funciones numéricas (dominio y codominio son subconjuntos de los Reales), hay una serie de convenios para simplificar la escritura. La expresión "la función $y = x^2 - 3\sqrt{x}$ " se debe entender como una abreviación de lo siguiente: La función f definida por dicha igualdad, que suponemos una relación funciona (a cada x corresponde un único y) es una función cuyo dominio, llamado dominio natural, es el máximo subconjunto para él cual tiene sentido la expresión, y cuyo codominio son todos los Reales. En la "función" citada, la aparición del radical nos dice que el dominio natural consiste de todos los reales no negativos.

Para evitar ambigüedades, a veces se usa la notación $x \mapsto x^2 - 3\sqrt{x} + 7$ para indicar la regla de asignación.

Igualmente, por restricciones adecuadas de dominio y codominio se trabaja la composición de funciones numéricas. Por ejemplo: si $f:x \mapsto x+1$ y $g:x \mapsto \sqrt{x}$ , podemos considerar a $h: x \mapsto \sqrt{x+1}$ como la composición de las funciones g y f, a pesar que esto es i'nconsistente con la definición dada de composición. En efecto, f es una función de ${\mathbb R}$ en ${\mathbb R}$ cuya imagen es todo ${\mathbb R}$ . Por su parte, g es una función de los reales no negativos en los Reales, por lo que no se cumple que la imagen de f sea un subconjunto del dominio de 'g. Sin embargo, como prácticamente o para efectos de otras necesidades matemáticas queremos considerar a la función h como una composiciónd de g con f, suponemos que f está restringido al intervalo $[-1,\infty)$ .

Funciones (con valores) reales

Los anteriores apartados se han referido a funciones entre conjuntos cualesquiera. Las funciones entre conjuntos de números son particularmente relevantes por la diversidad de sus aplicaciones prácticas y por sus particulares propiedades matemáticas. En algunos textos se reserva para las funciones entre conjuntos de números el término función mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se las denomina aplicaciones o transformaciones.

Llamamos función real o función con valores reales a cualquier función cuyo codominio sea un subconjunto de los Reales.

Álgebra de Funciones

Sea $X$ un conjunto cualquiera no vacío y sea ${\mathcal F}(X,{\mathbb R})$ el conjunto formado por todas las funciones de $X$ en $\mathbb R$ . Muchas de las operaciones y propiedades algebraicas de los Reales se pueden extender a ${\mathcal F}(X,{\mathbb R})$ , como veremos a continuación.

Sean $f,g: X \rightarrow {\mathbb R}$ elementos de ${\mathcal F}(X,{\mathbb R})$ . Definimos operaciones entre funciones, punto a punto por

$f+g: x \mapsto f(x) + g(x)$ Suma de Funciones.
$f-g: x \mapsto f(x) - g(x)$ Resta de Funciones.
$fg: x \mapsto f(x)g(x)$ Producto de Funciones.

Extendemos relaciones punto a punto.

$f<g \iff \forall x, f(x) < g(x)$ .

La manera en que hacemos la extensión garantiza que muchas de las propiedades de los Reales se extienden a ${\mathcal F}(X,{\mathbb R})$ . Indicamos a continuación aquellas más importantes.

La suma de funciones es asociativa, conmutativa, con neutro la función constante $x \mapsto 0$ , con opuesto aditivo $- f$ para cada función f.
La resta es tal que $f - g = f + ( - g)$ .
La multiplicación es asociativa, conmutativa, con neutro la función constante $x \mapsto 1$ , pero solamente las funciones que nunca tiene valor nulo, tienen recíprocos.
La multiplicación es distributiva respecto a la suma.

Note que todas las anteriores propiedades son propiedades de los números reales. Hay, sin embargo, propiedades "extrañas". Por ejemplo, Si el conjunto X tiene a lo menos dos elementos, hay divisores de cero en ${\mathcal F}(X,{\mathbb R})$ . En efecto, supongamos que $X = {a, b}$ y definamos $f,g:X \rightarrow {\mathbb R}$ tales que $f(a)=1,\ f(b)=0$ y $g(a)=0,\ g(b)=1$ . Se ve, inmediatamente, que $f g$ es la función constantemente 0, o sea la función cero, aunque ninguno de los factores lo es.

El conjunto ${\mathcal F}(X,{\mathbb R})$ junto con sus operaciones es importante por la gran cantidad de ejemplos diversos que se obtienen al seleccionar el conjunto X.

Sea $X=\{1,2\}\,$ . Entonces, cada función de ${\mathcal F}(X,{\mathbb R})$ define una pareja de números $f (1), f (2)$ que si consideramos el orden natural en X, podemos escribir como el para ordenado $(f (1), f (2))$ . Esto nos dice que, en este caso, podemos identificar ${\mathcal F}(X,{\mathbb R})$ con el conjunto de todos los pares posibles de números reales, o sea con ${\mathbb R}^2$ .
Sea $X=\{1,2,3\}\,$ Razonado como arriba, podemos identificar a ${\mathcal F}(X,{\mathbb R})$ con ${\mathbb R}^3$ .
Sea $X=\{1,2,3, \ldots, n\}$ Razonado como arriba, podemos identificar a ${\mathcal F}(X,{\mathbb R})$ con ${\mathbb R}^n$ .

Note que en cada uno de los ejemplos anteriores, el conjunto de pares, tríos, n-uplas ordenadas aparece provisto de una suma y multiplicación. La suma coincide con la suma vectorial usual y la multiplicación por constantes con la multiplicación por escalar.

Sea $X = {\mathbb N}$ , los Naturales. En este caso, ${\mathcal F}(X,{\mathbb R})$ es el conjunto de todas las sucesiones de números reales provisto cono la suma y multiplicación usual de sucesiones.

Funciones numéricas

Llamamos funciones numéricas a funciones cuyo dominio y codominio son subconjuntos de los Reales. Estas funciones son aquellas que aparecen más frecuentemente en las aplicaciones elementales.

Funciones acotadas

Una función se denomina acotada si su conjunto imagen está acotado. Por ejemplo: f(x) = sen(x) y g(x) = cos(x) tienen por conjunto imagen el intervalo [-1,1]. Si su conjunto imagen está acotado sólo superior o inferiormente, se dice que la función está acotada superior o inferiormente, respectivamente. Por ejemplo, f("x")=|x| tiene por conjunto imagen $[0,+\infty[\;\!$ , por lo que está acotada inferiormente.

Funciones pares e impares

Artículo principal: Función par

Artículo principal: Función impar

Se dice que una función es par cuando presenta simetría sobre el eje de ordenadas, esto es, si

$x>\forall x (x \in A \and -x \in A \rarr f(x) = f(-x))$

Una función es impar si presenta simetría con respecto al origen de coordenadas, esto es si

$\forall x (x \in A \and -x \in A \rarr f(-x) = -f(x))$

Una función que no presenta simetría par no tiene necesariamente simetría impar. Algunas funciones no presentan ninguno de los dos tipos de simetría o bien la presentan frente a focos o ejes distintos del origen de coordenadas o el eje de ordenadas (o eje Y). Dichas funciones se dice que no poseen paridad.

La importancia de los conceptos reside en que funciones cuyo dominio es simétrico respecto al origen, se cumple que son iguales a la suma de una función par con una función impar

Funciones monótonas

Artículo principal: Función monótona

La función f es estrictamente creciente en $[a,b] \harr \forall x_1, x_2 \in [a,b]: x_1 < x_2 \harr f(x_1) < f(x_2)$
f es estrictamente decreciente en $[a,b] \harr \forall x_1, x_2 \in [a,b]: x_1 < x_2 \harr f(x_1) > f(x_2)$

Si una función es estrictamente creciente o decreciente entonces es inyectiva.

f es creciente en $[a,b] \harr \forall x_1, x_2 \in [a,b]: x_1 < x_2 \harr f(x_1) \le f(x_2)$
f es decreciente en $[a,b] \harr \forall x_1, x_2 \in [a,b]: x_1 < x_2 \harr f(x_1) \ge f(x_2)$

Si una función verifica cualquiera de las cuatro propiedades anteriores se dice que es monótona.

Funciones periódicas

Artículo principal: función periódica

Una función es periódica si se cumple: $f(x) = f(x + T) ; T \neq 0\,$ donde $T\,$ es el período.

En particular, una función es periódica alternada cuando se cumple: $f(x) = -f\left(x + \frac{T}{2}\right)\,$ . Estas últimas también son conocidas como funciones simétricas de media onda y constan de dos semiondas iguales de sentidos opuestos.

Funciones cóncavas y convexas

Artículo principal: Función convexa

Artículo principal: Función cóncava

Función convexa.

Una función es convexa en un intervalo si la rectas tangentes a la función en ese intervalo están por debajo de la función. Una función es cóncava en un intervalo si la rectas tangentes a la función de ese intervalo están por encima.

La denominación de convexidad y concavidad depende del punto de vista que se adopte para considerar que es una concavidad, esto es si se mira a la función "desde arriba" o "desde abajo". Por ello, algunos textos denominan convexas a las funciones que se curvan "hacia abajo", al contrario de la definición que se acaba de dar en los anteriores párrafos. Por ello, es frecuente que en ocasiones se adopten las denominaciones convexa hacia arriba y concava hacia abajo para evitar las ambigüedades.

Las técnicas del análisis diferencial permiten determinar si una función es creciente, decreciente, concava o convexa a través del estudio de las derivadas sucesivas de la función.

Funciones reales y funciones discretas

Artículo principal: Función real

Artículo principal: Función discreta

Si el dominio de una función es un intervalo de la recta real la función se denominará real. En cambio, si la función está definida para los números enteros se denominará función discreta. Un ejemplo de una función discreta son las sucesiones.

Véase también

Referencia

Enlaces externos

Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre funciones. Commons
The Wolfram Functions Site da fórmulas y visualizaciones de varias funciones matemáticas.
FooPlot - Graficador de funciones matemáticas
Draw Function Graphs, graficador web para funciones matemáticas.
The function concept - Sobre la historia del concepto de función
En la Enciclopedia en-línea de la Springer-Verlag: [1]

Categorías:

Funciones
Matemática elemental

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Los diccionarios y las enciclopedias sobre el Académico

Wikipedia Español

Función matemática

Contenido

Definición

Notación y nomenclatura

Ejemplos

Igualdad de funciones

Representación de funciones

Clasificación de las funciones

Aplicación inyectiva y no sobreyectiva

Ejemplo

Segundo ejemplo

Aplicación no inyectiva y sobreyectiva

Ejemplo

Segundo ejemplo

Aplicación inyectiva y sobreyectiva (biyectiva)

Ejemplo

Segundo ejemplo

Aplicación no inyectiva y no sobreyectiva

Ejemplo

Segundo ejemplo

Resumen

Álgebra de las funciones

La composición de funciones

La función identidad

La restricción de una función

Función inversa

El grupo simétrico o grupo de las funciones biyectivas

Terminología, tradición y convenios

La notación funcional

Funciones (con valores) reales

Álgebra de Funciones

Funciones numéricas

Funciones acotadas

Funciones pares e impares

Funciones monótonas

Funciones periódicas

Funciones cóncavas y convexas

Funciones reales y funciones discretas

Véase también

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