Función continuamente diferenciable

Función continuamente diferenciable
Una función continuamente diferenciable.

En análisis matemático, una clase diferenciable es una clasificación de una función de acuerdo a las propiedades de sus derivadas. Clases diferenciales de orden superior corresponden a la existencia de más derivadas. Funciones que tienen derivadas de todos los órdenes son llamadas infinitamente continuas, es decir que tiene derivadas parciales continuas de cualquier orden finito.

  • Una función es de clase C1 si sus derivadas parciales son continuas. Estas funciones se denominan diferenciables continuas.
  • Una función es de clase Cn, con n ≥ 1 y constante, si sus derivadas parciales de orden n son continuas. Estas funciones se denominan diferenciables finitas .
  • Una función es denominada continuamente diferenciable si es de clase Cn para todo n, o lo que es lo mismo, es de clase C∞.

Por ejemplo, las funciones exponenciales son evidentemente funciones continuamente diferenciable porque sus derivadas son siempre continuas.

Contenido

Clase diferenciable

Considere un conjunto abierto en la recta real y una función f definida en ese conjunto con valores reales. Sea k un entero no negativo. La función es de clase Ck si sus derivadas f', f'', ..., f(k) existen y son continuas (la continuidad es automática para todas excepto para la última, f(k)). La función f se dice que es de clase C∞, o función suave ,si existen todas las derivadas de todos los órdenes. f es de clase Cω, o analítica , si f es continuamente diferenciable y es igual a la serie de Taylor expandida alrededor de un punto en su dominio.

Construcción de funciones según especificaciones

Usualmente es útil construir funciones continuamente diferenciables que toman el valor cero fuera de un intervalo dado, pero no dentro de él. Esto es posible; por otra parte es imposible que una serie de potencias pueda tener esa propiedad. Esto prueba que existe un gran salto entre funciones continuamente diferenciables y funciones analíticas; y que en general las funciones continuamente diferenciables no son necesariamente iguales a sus series de Taylor.

Para dar una construcción explícita de dichas funciones, podemos comenzar con la siguiente función

f(x)=\left\{\begin{matrix} e^{-1/x^2} & \mbox{ si } x \neq 0 \\ 0 & \mbox{ si } x=0 \end{matrix}\right.

No sólo se tiene que

\lim_{x \to 0} f(x) = 0

sino que también se tiene

\lim_{x \to 0} P(x)f(x) = 0

para cualquier polinomio P; ya que el crecimiento exponencial con exponente negativo domina. Se sigue que todas las derivadas de f(x) en cero, son iguales a cero:

f^{(n)}(0)=0 \mbox{ para cualquier } n \,

lo cual significa que fijando f(x) = 0 para x ≤ 0 genera una función continuamente diferenciable. Combinaciones tales como f(x)f(1-x) pueden ser hechas con cualquier intervalo requerido como soporte; en este caso el intervalo [0,1]. Este tipo de funciones tienen un comportamiento extremadamente lento cerca de 0.

Espacio topológico de las funciones Ck y C∞

En un dominio acotado D en un espacio euclídeo, el conjunto de funciones Ck conforman un espacio de Banach con la norma

\|f\|_k = \sup |f| + \sup |f'| + \cdots + \sup |f^{(k)}|

sin embargo, el conjunto de las funciones continuamente diferenciables \scriptstyle C^\infty es únicamente un espacio de Fréchet.

Relación con la teoría analítica de funciones

Pensando en términos de análisis complejo, una función como puede ser

g(z) = \exp\left(-\frac{1}{z^2}\right)

es continuamente diferenciable para valores reales de z , pero tiene una singularidad en z = 0. Esto es, el comportamiento cerca de z = 0 es malo; pero sucede que uno no puede verlo generalmente, ya que se suele trabajar con números reales.

Particiones de la unidad en funciones continuamente diferenciables

Las funciones continuamente diferenciables con un soporte cerrado dado, son usadas en la construcción de particiones de la unidad diverenciables (ver partición de la unidad); éstas son esenciales en el estudio de variedades diferenciables, por ejemplo, muestran que la variedad de Riemann puede ser definida globalmente empezando por la existencia local de ésta. Un caso simple es el de una función bump en la recta real, esto es, una función continuamente diferenciable f que toma el valor 0 fuera del intervalo [a,b] y que cumple que:

f(x) > 0 for a < x < b.

Dado un número de intervalos solapados en la recta real, las funciones bump pueden ser construidas en cada uno de ellos, y en los semi-intervalos (-∞, c] and [d,+∞) para cubrir la recta entera, tal que la suma de las funciones sea siempre 1.

Como acaba de decirse, particiones de la unidad no son aplicables a funciones holomorfas; su comportamiento diferente y la continuación analítica es una de las raíces de la teoría de haces. En cambio, los haces de funciones continuamente diferenciables tienden a no dar mucha información topológica.

Véase también

Referencias


Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Mira otros diccionarios:

  • Función convexa — en un intervalo [x,y]. En matemática, una función real f definida en un intervalo (o en cualquier subconjunto convexo de algún espacio vectorial) se llama función convexa o cóncava hacia arriba, si para dos puntos cualquiera x e y es su dominio C …   Wikipedia Español

  • Función sigmoide — La curva logística. Muchos procesos naturales y curvas de aprendizaje de sistemas complejos muestran una progresión temporal desde unos niveles bajos al inicio, hasta acercarse a un clímax transcurrido un cierto tiempo; la transición se produce… …   Wikipedia Español

  • Función definida a trozos — En matemáticas, una función definida a trozos (también conocida como función por partes) es una función cuya definición (la regla que define la dependencia) cambia dependiendo del valor de la variable independiente. Matemáticamente, una función… …   Wikipedia Español

  • Teorema de la función inversa — En la rama de la matemática denominada análisis matemático, el teorema de la función inversa proporciona las condiciones suficientes para que una aplicación sea invertible localmente en un entorno de un punto p en términos de su derivada en dicho …   Wikipedia Español

  • Identidades de Green — En matemáticas, las Identidades de Green son un conjunto de igualdades en cálculo vectorial. Nombradas así en honor del matemático George Green, el mismo que descubrió el Teorema de Green. Contenido 1 Primera Identidad de Green 2 Segunda… …   Wikipedia Español

  • Lookup table — Una lookup table (del inglés tabla de consulta ) es, en informática, una estructura de datos, normalmente un arreglo o un arreglo asociativo, que se usa para substituir una rutina de computación con una simple indexación de los arreglos. Son muy… …   Wikipedia Español

  • Solución débil — En matematicas, una solución débil (también llamada solución generalizada) de una ecuación diferencial ordinaria o en derivadas parciales es una función en la cual las derivadas que aparecen en la ecuación pueden no todas existir aunque se… …   Wikipedia Español

  • Diferencia finita — Saltar a navegación, búsqueda Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f(x + b) − f(x +a). Si una diferencia finita se divide por b − a se obtiene una expresión similar al cociente diferencial, que difiere en que se emplean… …   Wikipedia Español

  • Método de la fase estacionaria — En matemáticas, el método de la fase estacionaria o aproximación de fase estacionaria es un principio básico del análisis asintótico, se aplica a las integrales oscilatorias, una clase de integrales de Fourier del tipo. definidas en el espacio n… …   Wikipedia Español

  • Máxima verosimilitud — En estadística, la estimación por máxima verosimilitud (conocida también como EMV y, en ocasiones, MLE por sus siglas en inglés) es un método habitual para ajustar un modelo y encontrar sus parámetros. Contenido 1 Historia 2 Fundamento 3… …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”