Límite de Lamb Dicke

Límite de Lamb Dicke

En los experimentos con iones atrapados existe una región cuántica llamada el límite de Lamb Dicke. En esta región el acoplamiento (inducido por un campo electromagnético externo) entre los estados electrónicos internos (los estados del qubit) y los estados de movimiento del ion son suficientemente pequeños para que las transiciones \vert n, s\rangle \leftrightarrow \vert n^prime, s\prime\rangle con número cuántico vibracional mayor a uno sean fuertemente suprimidas.

Esta condición está expresada cuantitativamente por la siguiente desigualdad

\eta^2 (2n+1) \ll 1,

donde η es el parámetro de Lamb-Dicke y n es el número cuántico vibracional del oscillador armónico del ion.

Contenido

Relación entre el parámetro de Lamb-Dicke y el límite de Lamb-Dicke

Consideremos el movimiento del ion a través de la dirección del potencial estático de atrapamiento (el movimiento axial en dirección z), entonces alrededor de la posición equilibrio nuestro potencial de atrapamiento puede ser aproximado a un potencial armónico y el movimiento local del ion se puede considerar equivalente al de un oscilador armónico cuántico [1] con estados propios | n > . En este caso el operador de posición \hat{z} está dado por

\hat{z} = z_0 (\hat{a} + \hat{a}^\dagger).

El límite de Lamb-Dicke corresponde a la condición

\langle\Psi_{motion}\vert {k_z}^2 z^2 \vert \Psi_{motion} \rangle^{1/2} \ll 1

donde \langle\Psi_{motion}\vert es la parte del movimiento de la función de onda del ion y k_z = \mathbf{k}\cdot \hat{z} = |\mathbf{k}|\cos\theta = \cos\theta (\frac{2\pi}{\lambda}) es la proyección del vector de onda del campo de luz actuando sobre el ion en la dirección z. El parámetro de Lamb-Dicke se define como

η = kzz0,

donde

z_0 = (\langle 0\vert z^2 \vert 0\rangle)^{\frac{1}{2}} = (\hbar/2m\omega_z)^{\frac{1}{2}}

es la extensión de la función de onda del estado base y ωz es la frecuencia del potencial de atrapamiento en dirección z.

La energía cinética del ion junto con la absorción o la emisión de un fotón con impulso \hbar k_z cambia proporcionalmente a la cantidad de energía de repulsión E_R = \hbar \omega_R donde la frecuencia de repulsión es definida como

\omega_R = \frac{\hbar k_z^2}{2 m}.

El cuadrado del parámetro de Lamb-Dicke entonces está dado por

\eta^2 = \frac{\omega_R}{\omega_z} = \frac{\mathrm{cambio\, de\, energia\, cinetica}}{\mathrm{hueco\, cuantico\, del\, OA}}.

Dicho de otra manera, el parámetro de Lamb-Dicke η cuantifica la fuerza de acoplamiento entre los estados internos y los estados de movimiento del ion. Cuando el parámetro de Lamb-Dicke sea más pequeño que uno, el hueco cuántico del oscilador armónico será más grande que la energía de repulsión y las transiciones cambiando el estado de movimiento del ion están despreciables. El parámetro de Lamb-Dicke pequeño es una condición necesaria, pero suficiente para el límite de Lamb-Dicke.

Trasfondo matemático

En los experimentos con iones atrapados, se emplean láseres para acoplar los estados internos de un ion con sus estados de movimiento. La repulsión mecánica de un ion junto con la absorción o emisión de un fotón está descrita por los operadores \exp(\pm i k_z z).[2] Estos operadores inducen un desplazamiento del impulso por la cantidad \pm\hbar k_z para absorción (+) o emisión (-) de un fotón de láser. En la base de los estados propios del oscilador armónico \{\vert n\rangle\}_{n \in \mathbb N_0}, la probabilidad de la transición \vert n\rangle \rightarrow \vert n^\prime\rangle es dado por las coeficientes de Franck-Condon

F_{n\rightarrow n^\prime} = \langle n^\prime \vert exp(ik_z z) \vert n\rangle = \langle n^\prime \vert exp(i \eta (\hat{a} + \hat{a}^\dagger)\vert n\rangle.

Cuando la condición del límite de Lamb Dicke sea cumplido, uno puede expandir en una serie de Taylor

\exp(i\eta(\hat{a} + \hat{a}^\dagger)) = 1 + i \eta(\hat{a} + \hat{a}^\dagger) + O(\eta^2)

y se ve inmediatamente que las transiciones entre los estados de movimiento cambiando el número cuántico vibracional n por más que uno, está suprimidas fuertemente.

Significado del límite de Lamb-Dicke

En el límite de Lamb Dicke, emisión espontánea sucede principalmente con la frecuencia de la transición interna del qubit (frecuencia portadora) así que no afecta el estado de movimiento del ion la mayoría del tiempo. Esta es una condición necesaria para que resolved sideband cooling funcione eficazmente.

Alcanzando el límite de Lamb Dicke en general es necesario para estar capaz de ejecutar manipulaciones coherentes con el ion. Por tanto este está estableciendo un límite superior para la temperatura de los iones para que poder crear entrelazamiento. Durante manipulaciones de los iones con pulsos de láseres, los iones no pueden estar enfriados por lo cual inicialmente hay que enfriarlos a una temperatura para que permanezcan en el límite de Lamb Dicke durante todo el proceso de manipulación que está creando entrelazamiento.

Referencias y notas

  1. ↑ Wineland, D.J. (1998). «Experimental Issues in Coherent Quantum-State Manipulation of Trapped Ions». Journal of Research of the National Institute of Standard and Technology. 
  2. ↑ Eschner, Jürgen (2003). «Laser cooling of trapped ions». J. Opt. Soc. Am. B. 

Véase también

  • Laser cooling
  • Resolved sideband cooling

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