Límite de Banach

Límite de Banach: En análisis matemático, un límite de Banach es un funcional lineal continuo $\phi: \ell_\infty \to \mathbb{R}$ definido sobre el espacio de Banach $\ell_\infty$ para toda sucesión acotada de números complejos tales que para sucesiones $x = (x n)$ y $y = (y n)$ cualesquiera, se cumplen las siguientes condiciones:

$ϕ(α x + β y) = αϕ(x) + βϕ(y)$ (linearidad);

Si $x_n\geq 0$ para todo $n\ge1$ , entonces $\phi(x)\geq 0$ ;

$ϕ(x) = ϕ(S x)$ , donde $S$ es el operador de shift definido por $(S x) n = x n + 1$ .

Si $x$ es una sucesión convergente, entonces $ϕ(x) = lim x$ .

Por lo tanto, $ϕ$ es una extensión del funcional continuo $\lim x:c\mapsto \mathbb C.$

En otras palabras, un límite de Banach extiende el límite usual, es invariante (al desplazamiento) y positivo. Sin embargo, existen sucesiones para las cuales los valores de dos límites de Banach no concuerdan. Se dice que el límite de Banach no es únicamente determinado en este caso.

La existencia de límites de Banach es comúnmente demostrada haciendo uso del teorema de Hahn–Banach (aproximación analítica) o haciendo uso de ultrafiltros (este aproximamiento es más frecuente en exposiciones conjuntistas). Vale la pena destacar que, esas demostraciones hacen uso del axioma de elección (luego son llamadas demostraciones no efectivas).

Casi convergencia

Existen sucesiones no convergentes las cuales tienen únicamente determinados límites de Banach. Por ejemplo, si $x=(1,0,1,0,\ldots)$ , entonces $x+S(x)=(1,1,1,\ldots)$ es una sucesión constante, y $2ϕ(x) = ϕ(x) + ϕ(S x) = 1$ se cumple. Por lo tanto, para cualquier límite de Banach esta sucesión tiene como límite $\frac 12$ . Una sucesión $x$ con la propiedad que, para todo límite de Banach $ϕ$ , el valor $ϕ(x)$ es el mismo, es llamada casi convergente.

espacios Ba

Dada una sucesión en c, el límite ordinario de la sucesión no surge de un elemento de $\ell^1$ . Por lo tanto, el límite de Banach sobre $\ell^\infty$ es un ejemplo de un elemento del espacio dual continuo $\ell^\infty$ que no está en $\ell^1$ . El dual de $\ell^\infty$ es conocido como el espacio ba, y consiste en todas las medidas finitamente aditivas del sigma-álgebra de todos los subconjuntos de los números naturales.

Enlaces externos

Banach limit en PlanetMath

Categoría:
Análisis funcional

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Mira otros diccionarios:

Límite — puede referirse a: Una linde o frontera territorial (como el limes romano, del que deriva etimológicamente la palabra castellana límite) que se utiliza convencionalmente para separar territorios. Genéricamente, a cualquier limitación o… … Wikipedia Español
BANACH (S.) — Avec l’introduction des espaces qui portent son nom et l’étude fine des applications linéaires dans ces espaces, Banach est un des fondateurs de l’analyse fonctionnelle. Son œuvre illustre bien la force des théories mathématiques modernes: se… … Encyclopédie Universelle
Limite (mathématiques) — Pour les articles homonymes, voir Limite. En mathématiques, rechercher la limite d une suite ou d une fonction, c est déterminer si cette suite ou cette fonction s approche d une valeur particulière lorsque la variable prend des valeurs extrêmes … Wikipédia en Français
Espacio de Banach — Saltar a navegación, búsqueda En matemáticas, los espacios de Banach, llamados así en honor de Stefan Banach, son uno de los objetos de estudio más importantes en análisis funcional. Los espacios de Banach son típicamente espacios de funciones de … Wikipedia Español
Théorème de Banach-Steinhaus — Le théorème de Banach Steinhaus (aussi appelé principe de la borne uniforme) fait partie, au même titre que le théorème de Hahn Banach et le théorème de Banach Schauder, des résultats fondamentaux de l analyse fonctionnelle. Il a été publié en… … Wikipédia en Français
Theoreme de Banach-Steinhaus — Théorème de Banach Steinhaus Le théorème de Banach Steinhaus (aussi appelé Principe de la borne uniforme) fait partie, au même titre que le théorème de Hahn Banach et le théorème de Banach Schauder, des résultats fondamentaux de l analyse… … Wikipédia en Français
Théorème de banach-steinhaus — Le théorème de Banach Steinhaus (aussi appelé Principe de la borne uniforme) fait partie, au même titre que le théorème de Hahn Banach et le théorème de Banach Schauder, des résultats fondamentaux de l analyse fonctionnelle. Il a été publié en… … Wikipédia en Français
Theoreme de Banach-Schauder — Théorème de Banach Schauder En analyse fonctionnelle, le théorème de Banach Schauder, également appelé théorème de l application ouverte est un résultat fondamental qui affirme qu une application linéaire continue surjective entre deux espaces… … Wikipédia en Français
Théorème de Banach-Schauder — Ne pas confondre ce théorème de l application ouverte avec théorème de l application ouverte (analyse complexe). En analyse fonctionnelle, le théorème de Banach Schauder, également appelé théorème de l application ouverte est un résultat… … Wikipédia en Français
Théorème de banach-schauder — En analyse fonctionnelle, le théorème de Banach Schauder, également appelé théorème de l application ouverte est un résultat fondamental qui affirme qu une application linéaire continue surjective entre deux espaces vectoriels normés complets est … Wikipédia en Français

Los diccionarios y las enciclopedias sobre el Académico

Límite de Banach

Casi convergencia

espacios Ba

Enlaces externos

Mira otros diccionarios:

Compartir el artículo y extractos

Los diccionarios y las enciclopedias sobre el Académico

Wikipedia Español

Límite de Banach

Casi convergencia

espacios Ba

Enlaces externos

Mira otros diccionarios:

Compartir el artículo y extractos

Link directo