Subespacios fundamentales de una matriz

Subespacios fundamentales de una matriz: Sea $A \in \Bbbk^{m \times n} \,\, (\Bbbk = \Re \,\, o \,\, \C)$ una matriz con coeficientes $a_{ij} \in \Bbbk$ . Se define el espacio columna, el espacio fila y el espacio nulo de $A\,$ , respectivamente, como:

$Col(A) = gen \Big\{[a_{11} \quad \cdots \quad a_{m1}]^{T}, \quad \cdots \quad, \,\, [a_{1n} \quad \cdots \quad a_{mn}]^{T} \Big\}, \quad Col(A) \subseteq \Bbbk^{m}$

$Fil(A) = gen \Big\{[a_{11} \quad \cdots \quad a_{1n}]^{T}, \quad \cdots \quad, \,\, [a_{m1} \quad \cdots \quad a_{mn}]^{T} \Big\}, \quad Fil(A) \subseteq \Bbbk^{n}$

$Nul(A) = \Big\{x \in \Bbbk^{n}: \quad A \cdot x = 0_{\Bbbk^{m}} \Big\}$

En donde $0_{\Bbbk^{m}}$ es el vector nulo del espacio vectorial $\Bbbk^{m}$ .

Ejemplos

1) Sea $\mathbb{A} = \; \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -2 \\ -2 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix}$ . Entonces:

$Col(A) = gen \Big\{[-1 \quad 1 \quad -2]^{T}, \,\, [1 \quad 1 \quad 1]^{T}, \,\, [0 \quad -2 \quad 1]^{T} \Big\}$

$Fil(A) = gen \Big\{[-1 \quad 1 \quad 0]^{T}, \,\, [1 \quad 1 \quad -2]^{T}, \,\, [-2 \quad 1 \quad 1]^{T} \Big\}$

$Nul(A) = gen \Big\{[1 \quad 1 \quad 1]^{T} \Big\}$

La matriz no tiene porque ser cuadrada, veamos otro ejemplo:

2) Sea $\mathbb{A} = \; \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 3 & -6 \\ -2 & 4 \\ \end{bmatrix}$ . Entonces:

$Col(A) = gen \Big\{[-1 \quad 3 \quad -2]^{T}, \,\, [-2 \quad -6 \quad 4]^{T} \Big\}$

$Fil(A) = gen \Big\{[-1 \quad 2]^{T}, \,\, [3 \quad -6]^{T}, \,\, [-2 \quad 4]^{T} \Big\}$

$Nul(A) = gen \Big\{[2 \quad 1]^{T} \Big\}$

Propiedades

Para las relaciones de ortogonalidades entre conjuntos, siempre se considera el producto interno canónico de $\Bbbk^{m}$ o $\Bbbk^{n}$ :

$Col(A^{T}) = Fil(A) \,$

$Fil(A^{T}) = Col(A) \,$

$Nul(A) \quad \bot \quad Fil(A)$

$Col(A) \quad \bot \quad Nul(A^{T})$

$dim \left(Col(A) \right) = dim \left(Col(A^{T}) \right) = rango(A) = rango(A^{T})$

Si $A \in \Bbbk^{n \times n} \,$ y además $Col(A) \,$ es un conjunto linealmente independiente, entonces $det(A) \neq 0 \,$ . O sea, la matriz es inversible.

Si $A \in \Bbbk^{n \times n} \,$ y además $dim(Nul(A)) \ge 1$ , entonces $det(A) = 0 \,$ . O sea, la matriz no es inversible.

$dim(Col(A)) + dim(Nul(A)) = n \,$

Sean $A \in \Bbbk^{n \times m} \,$ y $B \in \Bbbk^{p \times n} \,$ entonces $\exists \,\,\, B \cdot A \in \Bbbk^{p \times m} \,$ y se cumple que $Col(B \cdot A) \subseteq Col(B) \,$ y $Col(B \cdot A) = Col(B) \,$ si y sólo si $Col(B) \,$ es un conjunto linealmente independiente.

Sean $A \in \Bbbk^{n \times m} \,$ y $B \in \Bbbk^{p \times n} \,$ entonces $\exists \,\,\, B \cdot A \in \Bbbk^{p \times m} \,$ . Entonces se ve que $A \cdot x = 0_{\Bbbk^{n}} \Longleftrightarrow B \cdot A \cdot x = B \cdot 0_{\Bbbk^{n}} = 0_{\Bbbk^{p}}$ . Entonces $Nul(A) \subseteq Nul(B \cdot A)$ y ocurre que $Nul(A) = Nul(B \cdot A)$ si y sólo si $dim(Nul(A)) = dim(Nul(B \cdot A)) \,$

Veamos que $Nul(A) = Nul(A^{T}A) \,$ . Sea $x \in Nul(A)$ , entonces $Ax = 0_{\Bbbk^{m}} \Longleftrightarrow A^{T}Ax = 0_{\Bbbk^{n}} \longrightarrow x \in Nul(A^{T}A)$ . Por otro lado, $x \in Nul(A^{T}A) \Longleftrightarrow A^{T}Ax = 0_{\Bbbk^{n}} \Longleftrightarrow x^{T}A^{T}Ax = 0 \Longleftrightarrow (Ax, Ax) = 0 \Longleftrightarrow ||Ax||^{2} = 0 \Longleftrightarrow Ax = 0_{\Bbbk^{m}} \Longleftrightarrow x \in Nul(A)$

Enlaces externos

Matriz

Determinante de una matriz

Producto interno canónico

Categoría:
Matrices

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