Subespacios fundamentales de una matriz

Subespacios fundamentales de una matriz

Sea A \in \Bbbk^{m \times n} \,\, (\Bbbk = \Re \,\, o \,\, \C) una matriz con coeficientes a_{ij} \in \Bbbk. Se define el espacio columna, el espacio fila y el espacio nulo de A\,, respectivamente, como:


  1. Col(A) = gen \Big\{[a_{11} \quad \cdots \quad a_{m1}]^{T}, \quad \cdots \quad, \,\, [a_{1n} \quad \cdots \quad a_{mn}]^{T} \Big\}, \quad Col(A) \subseteq \Bbbk^{m}
  2. Fil(A) = gen \Big\{[a_{11} \quad \cdots \quad a_{1n}]^{T}, \quad \cdots \quad, \,\, [a_{m1} \quad \cdots \quad a_{mn}]^{T} \Big\}, \quad Fil(A) \subseteq \Bbbk^{n}
  3. Nul(A) = \Big\{x \in \Bbbk^{n}: \quad A \cdot x = 0_{\Bbbk^{m}} \Big\}


En donde 0_{\Bbbk^{m}} es el vector nulo del espacio vectorial \Bbbk^{m}.

Ejemplos

1) Sea \mathbb{A} = \; \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -2 \\ -2 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix} . Entonces:


Col(A) = gen \Big\{[-1 \quad 1 \quad -2]^{T}, \,\, [1 \quad 1 \quad 1]^{T}, \,\, [0 \quad -2 \quad 1]^{T} \Big\}


Fil(A) = gen \Big\{[-1 \quad 1 \quad 0]^{T}, \,\, [1 \quad 1 \quad -2]^{T}, \,\, [-2 \quad 1 \quad 1]^{T} \Big\}


Nul(A) = gen \Big\{[1 \quad 1 \quad 1]^{T} \Big\}


La matriz no tiene porque ser cuadrada, veamos otro ejemplo:


2) Sea \mathbb{A} = \; \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 3 & -6 \\ -2 & 4 \\ \end{bmatrix} . Entonces:


Col(A) = gen \Big\{[-1 \quad 3 \quad -2]^{T}, \,\, [-2 \quad -6 \quad 4]^{T} \Big\}


Fil(A) = gen \Big\{[-1 \quad 2]^{T}, \,\, [3 \quad -6]^{T}, \,\, [-2 \quad 4]^{T} \Big\}


Nul(A) = gen \Big\{[2 \quad 1]^{T} \Big\}


Propiedades

Para las relaciones de ortogonalidades entre conjuntos, siempre se considera el producto interno canónico de \Bbbk^{m} o \Bbbk^{n}:


  • Col(A^{T}) = Fil(A) \,


  • Fil(A^{T}) = Col(A) \,


  • Nul(A) \quad \bot \quad Fil(A)


  • Col(A) \quad \bot \quad Nul(A^{T})


  • dim \left(Col(A) \right) = dim \left(Col(A^{T}) \right) = rango(A) = rango(A^{T})


  • Si A \in \Bbbk^{n \times n} \, y además Col(A) \, es un conjunto linealmente independiente, entonces det(A) \neq 0 \,. O sea, la matriz es inversible.


  • Si A \in \Bbbk^{n \times n} \, y además dim(Nul(A)) \ge 1, entonces det(A) = 0 \,. O sea, la matriz no es inversible.


  • dim(Col(A)) + dim(Nul(A)) = n \,


  • Sean A \in \Bbbk^{n \times m} \, y B \in \Bbbk^{p \times n} \, entonces \exists \,\,\, B \cdot A \in  \Bbbk^{p \times m} \, y se cumple que Col(B \cdot A) \subseteq Col(B) \, y Col(B \cdot A) = Col(B) \, si y sólo si Col(B) \, es un conjunto linealmente independiente.


  • Sean A \in \Bbbk^{n \times m} \, y B \in \Bbbk^{p \times n} \, entonces \exists \,\,\, B \cdot A \in  \Bbbk^{p \times m} \,. Entonces se ve que A \cdot x = 0_{\Bbbk^{n}} \Longleftrightarrow B \cdot A \cdot x = B \cdot 0_{\Bbbk^{n}} = 0_{\Bbbk^{p}}. Entonces Nul(A) \subseteq Nul(B \cdot A) y ocurre que Nul(A) = Nul(B \cdot A) si y sólo si dim(Nul(A)) = dim(Nul(B \cdot A)) \,


  • Veamos que Nul(A) = Nul(A^{T}A) \,. Sea x \in Nul(A), entonces Ax = 0_{\Bbbk^{m}} \Longleftrightarrow A^{T}Ax = 0_{\Bbbk^{n}} \longrightarrow x \in Nul(A^{T}A). Por otro lado, x \in Nul(A^{T}A) \Longleftrightarrow A^{T}Ax = 0_{\Bbbk^{n}} \Longleftrightarrow x^{T}A^{T}Ax = 0 \Longleftrightarrow (Ax, Ax) = 0 \Longleftrightarrow ||Ax||^{2} = 0 \Longleftrightarrow Ax = 0_{\Bbbk^{m}} \Longleftrightarrow x \in Nul(A)

Enlaces externos

  1. Matriz
  2. Determinante de una matriz
  3. Producto interno canónico

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Mira otros diccionarios:

  • Matriz hermitiana — Una matriz Hermitiana (o Hermítica) es una matriz cuadrada de elementos complejos que tiene la característica de ser igual a su propia traspuesta conjugada. Es decir, el elemento en la i ésima fila y j ésima columna es igual al conjugado del… …   Wikipedia Español

  • Emmy Noether — Amalie Emmy Noether Nacimiento 23 de marzo de 1882 Erlangen, Baviera, Alemania Fallecimiento …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”