- Matriz hermitiana
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Una matriz Hermitiana (o Hermítica) es una matriz cuadrada de elementos complejos que tiene la característica de ser igual a su propia traspuesta conjugada. Es decir, el elemento en la i-ésima fila y j-ésima columna es igual al conjugado del elemento en la j-ésima fila e i-ésima columna, para todos los índices i y j:
o, escrita con la traspuesta conjugada A*:
Por ejemplo,
es una matriz hermítica.
Contenido
Propiedades
- Sea
, donde
es hermitiana y
y
reales, entonces
es simétrica (
) y
antisimétrica (
).
- La inversa de una matriz hermitiana es también hermitiana.
- En relación con la propiedad 3, los autovalores de estas matrices son reales.
- En una matriz hermitiana, los elementos de la diagonal principal son reales.
- La determinante de una matriz hermitiana es un número real.
Diagonalización de Matrices Hermíticas
Sea
Hermítica, es decir
. Entonces
es diagonalizable unitariamente. O sea, se la puede descomponer de la siguiente manera:
En donde:
es una matriz unitaria y el conjunto
es ortonormal y está formado por autovectores de
asociados a sus respectivos autovalores. Estos vectores deben ir en orden, respecto de sus autovalores.
una matriz diagonal formada con autovalores de
(todos reales)
Propiedades
1)
es unitaria si y sólo si
lo que implica que
y si
entonces
. Donde
es el producto interno canónico en
Entonces el conjunto
es una base ortonormal de
. Observar que la implicación de que el producto interno de 1 si coinciden los subíndices, implica que
es un conjunto ortonormal.
Caso particular: cuando la matriz unitaria cumple además
(observar que se trata sólo del caso real), entonces ocurre que
. En este caso la matriz
se dice involutiva y está asociada a una reflexión respecto de un plano. Ver transformación de Householder
2) Analicemos el siguiente caso suponiendo
. O sea
autovalor de
asociado al autovector
:
De donde
3) Sean
autovectores de la matriz Hermítica
asociados a los autovalores
respectivamente. Supongamos que al menos, existe un par de estos últimos distintos, es decir,
para algún par
. Entonces
. Es decir, autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales
De donde
Ejemplos
1) Sea
una matriz simétrica (caso particular de Hermítica). Entonces, se ve que
es autovalor de
asociado al autovector
, es decir que el autoespacio asociado a este autovalor es
El otro autovalor es
asociado al autovector
, es decir que el autoespacio asociado a este autovalor es
Como se puede ver,
; es decir, son ortogonales. O sea
La descomposición de la matriz es:
O sino
Véase también
- Forma hermítica o Forma sesquilineal
- Operador hermítico
- Matriz antihermítica
- Matriz normal
- Subespacios fundamentales de una matriz
- Charles Hermite
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