Subespacio invariante

Subespacio invariante

Dada una transformación lineal T: V → V se dice que un subespacio W de V es un subespacio invariante frente a T (o T-invariante) si para todo vector w ∈ W se cumple que T(w) ∈ W. Dicho de otra manera, W es un subespacio invariante si T(W) ⊂ W.

Ejemplos

  1. Consideremos V = R3 y T una rotación alrededor del eje z (T es una transformación lineal). Primero notemos que el plano x-y (llamémoslo W) es un subespacio de V. Al rotar un vector cualquiera del plano x-y alrededor del eje z se obtiene otro vector en el plano x-y. Es decir que para todo w ∈ W se tiene que T(w) ∈ W. Es decir que el plano x-y es un subespacio invariante frente a una rotación alrededor del eje z.
  2. El núcleo de una transformación lineal T es un subespacio T-invariante.
  3. Consideremos ahora una transformación lineal T con un autovector v. El subespacio generado por v es un subespacio T-invariante.
  4. Consideremos la transformación lineal T: R3 → R3 definida como T(x)=Ax donde A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & -4 & 5 \end{bmatrix} entonces el subespacio generado por los vectores (0,1,0) y (0,0,1) es un subespacio invariante frente a T.
  5. Generalizando el ejemplo anterior, dada la Forma canónica de Jordan de una transformación lineal, cada uno de los subespacios asociados a los bloques de Jordan son subespacios invariantes frente a la transformación en cuestión.
  6. La imagen de una transformación lineal también es un subespacio invariante frente la transformación en cuestión.
  7. Consideremos el plano R2 y la transformación lineal que a cada vector de dicho plano le asigna su reflexión respecto al eje y, es decir T(x,y)=(-x,y). El subespacio generado por el vector (1,0) es invariante frente a la transformación T. Por otro lado el subespacio generado por el vector (1,1) no es invariante frente a la transformación T.
  8. Consideremos el plano R2 y la transformación lineal que a cada vector de dicho plano le asigna la reflexión respecto al origen de coordenadas, es decir T(x,y)=(-x,-y). Entonces todo subespacio de R2 es invariante frente a dicha reflexión.

Observación

Notemos que la palabra “invariante” puede generar confusión en el siguiente sentido: Un subespacio puede ser invariante y sin embargo “variar” bajo la transformación en cuestión. Esto es posible dado que la condición para que el subespacio sea invariante es T(W) ⊂ W y no T(W)=W.

Véase también


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