- Subespacio invariante
-
Dada una transformación lineal T: V → V se dice que un subespacio W de V es un subespacio invariante frente a T (o T-invariante) si para todo vector w ∈ W se cumple que T(w) ∈ W. Dicho de otra manera, W es un subespacio invariante si T(W) ⊂ W.
Ejemplos
- Consideremos V = R3 y T una rotación alrededor del eje z (T es una transformación lineal). Primero notemos que el plano x-y (llamémoslo W) es un subespacio de V. Al rotar un vector cualquiera del plano x-y alrededor del eje z se obtiene otro vector en el plano x-y. Es decir que para todo w ∈ W se tiene que T(w) ∈ W. Es decir que el plano x-y es un subespacio invariante frente a una rotación alrededor del eje z.
- El núcleo de una transformación lineal T es un subespacio T-invariante.
- Consideremos ahora una transformación lineal T con un autovector v. El subespacio generado por v es un subespacio T-invariante.
- Consideremos la transformación lineal T: R3 → R3 definida como T(x)=Ax donde entonces el subespacio generado por los vectores (0,1,0) y (0,0,1) es un subespacio invariante frente a T.
- Generalizando el ejemplo anterior, dada la Forma canónica de Jordan de una transformación lineal, cada uno de los subespacios asociados a los bloques de Jordan son subespacios invariantes frente a la transformación en cuestión.
- La imagen de una transformación lineal también es un subespacio invariante frente la transformación en cuestión.
- Consideremos el plano R2 y la transformación lineal que a cada vector de dicho plano le asigna su reflexión respecto al eje y, es decir T(x,y)=(-x,y). El subespacio generado por el vector (1,0) es invariante frente a la transformación T. Por otro lado el subespacio generado por el vector (1,1) no es invariante frente a la transformación T.
- Consideremos el plano R2 y la transformación lineal que a cada vector de dicho plano le asigna la reflexión respecto al origen de coordenadas, es decir T(x,y)=(-x,-y). Entonces todo subespacio de R2 es invariante frente a dicha reflexión.
Observación
Notemos que la palabra “invariante” puede generar confusión en el siguiente sentido: Un subespacio puede ser invariante y sin embargo “variar” bajo la transformación en cuestión. Esto es posible dado que la condición para que el subespacio sea invariante es T(W) ⊂ W y no T(W)=W.
Véase también
Categorías:- Álgebra lineal
- Teoría de la representación
Wikimedia foundation. 2010.