Teorema de unicidad del potencial

Teorema de unicidad del potencial

El teorema de unicidad del potencial es un teorema de la electrostática que emplea propiedades de la solución de la ecuación de Laplace. Es la aplicación directa del problema de Dirichlet a la electrostática.

Contenido

Enunciado del teorema

El potencial que cumple la ecuación de Poisson en una cierta región R con unas ciertas condiciones de contorno dadas en su superficie S es único. O lo que es lo mismo, dados \ V_1 y \ V_2 definidos en R que cumplen:

\nabla^2 V_1=\frac{\rho}{\epsilon_0} \qquad V_1|_S=f
\nabla^2 V_2=\frac{\rho}{\epsilon_0} \qquad V_2|_S=f

implica que:

V_1=V_2 \qquad\forall \mathbf r\in R

Demostración

Sea \ V_1 y \ V_2 soluciones de la ecuación de Poisson en una cierta región R:

\nabla^2 V=\frac{\rho}{\epsilon_0}

cumpliendo las condiciones de contorno

\ V_1|_S=V_2|_S=f

siendo S la superficie que delimita dicho volumen.

Tomando \ V_1=V_2+\chi por las condiciones anteriores ha de cumplirse que:

\nabla^2 V_1=\nabla^2 V_2=\nabla^2 V_1+\nabla^2 \chi \qquad\Rightarrow\qquad \nabla^2\chi=0 \qquad\forall \mathbf r\in V
\ V_1|_S=V_2|_S=V_1|_S+\chi|_S=f \qquad\Rightarrow\qquad \chi|_S=0

Dado que \ \chi cumple la ecuación de Laplace, no posee máximos ni mínimos locales, el valor máximo y mínimo se alcanza en la frontera ( \ \chi|_S=0 ) de modo que concluimos

\ \chi=0 \qquad\forall \mathbf r\in R

o lo que es lo mismo:

V_1=V_2 \qquad\forall \mathbf r\in R

Aplicaciones

Es el fundamento teórico del método de las imágenes, un método de calculo de potenciales en electrostática.

A través de este teorema también se explica el fenómeno denominado jaula de Faraday.

Véase también

Bibliografía utilizada

  • Introduction to electrodynamics, David J. Griffiths.

Wikimedia foundation. 2010.

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