Valor principal de Cauchy

Valor principal de Cauchy

En el ámbito de las matemáticas, el valor principal Cauchy, es un método que permite asignar valores a ciertas integrales impropias que si no resultarian indefinidas. Su nombre hace honor al matemático Augustin Louis Cauchy.

Definiciones

Dependiendo del tipo de singularidad en la integral, el valor principal de Cauchy se define por las siguientes expresiones:

  • el número finito
\lim_{\varepsilon\rightarrow 0+} \left[\int_a^{b-\varepsilon} f(x)\,dx+\int_{b+\varepsilon}^c f(x)\,dx\right]
donde b es un punto en el cual la función f se comporta de forma tal que
\int_a^b f(x)\,dx=\pm\infty
para todo a < b y
\int_b^c f(x)\,dx=\mp\infty
para todo c > b (un signo es "+" y el otro es "−"; véase signo más o menos para la utilización precisa de la notación ±, ∓).


o
  • el número finito
\lim_{a\rightarrow\infty}\int_{-a}^a f(x)\,dx
donde
\int_{-\infty}^0 f(x)\,dx=\pm\infty
y


\int_0^\infty f(x)\,dx=\mp\infty
(nuevamente véase signo más o menos para una explicación detallada de la notación utilizada ±, ∓).
En algunos casos es necesario gestionar simultaneamente singularidades tanto en un número finito b y en infinito. Normalmente para ello se utiliza un límite del tipo
\lim_{\varepsilon \rightarrow 0+}\int_{b-\frac{1}{\varepsilon}}^{b-\varepsilon} f(x)\,dx+\int_{b+\varepsilon}^{b+\frac{1}{\varepsilon}}f(x)\,dx.
o
  • en función de integrales de contorno de una función compleja f(z); z = x + iy, con un polo en el contorno. El polo es rodeado con un círculo de radio ε y un trozo del camino fuera de este círculo es designado L(ε). Siempre que la función f(z) es integrable sobre L(ε) sin importar cuan pequeño sea ε, entonces el valor principal de Cauchy es el límite:[1]
\mathrm{P} \int_{L} f(z) \ dz = \int_L^* f(z)\ dz = \lim_{\varepsilon \to 0 } \int_{L( \varepsilon)} f(z)\ dz \ ,
donde dos de las expresiones más usuales del valor principal de Cauchy aparecen en el lado izquierdo de esta ecuación.

Referencias

  1. ↑ Ram P. Kanwal (1996). Linear Integral Equations: theory and technique (2nd Edition edición). Boston: Birkhäuser. p. 191. ISBN 0817639403. http://books.google.com/books?id=-bV9Qn8NpCYC&pg=PA194&lpg=PA194&dq=+%22Poincar%C3%A9-Bertrand+transformation%22&source=web&ots=iofB7oQccG&sig=2yieQ-eUpZTZtPcZrJJpBZAO-R4&hl=en#PPA191,M1. 

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Mira otros diccionarios:

  • Integración — La integral definida de una función representa el área limitada por la gráfica de la función, con signo positivo cuando la función toma valores positivos y negativo cuando toma valores negativos. Para otros usos de este término, véase Integración …   Wikipedia Español

  • Integral impropia — En cálculo, una integral impropia es el límite de una integral definida cuando uno o ambos extremos del intervalo de integración se acercan a un número real específico, a ∞, o a −∞. Además una integral definida es impropia cuando la función… …   Wikipedia Español

  • Logaritmo integral — Integral logarítmica representada para valores x>2. En matemática, la función integral de logaritmo o integral logarítimica li(x), es una funcion especial de relevancia significativa en problemas de física y teoría de números, ya que da una… …   Wikipedia Español

  • Integral exponencial — Gráfica de la función E1 (arriba) y de la función Ei (parte inferior). En el ámbito de las matemáticas la integral exponencial es una función especial definida en el plano complejo e identificada con el símbolo  Ei. Contenido …   Wikipedia Español

  • Fórmula explícita — En matemática, la fórmula explícita para funciones L son un conjunto de ecuaciones que relacionan sumas sobre «ceros complejos» o «no triviales» de una función L con sumas sobre potencias de primos, introducida por primera vez por Bernhard… …   Wikipedia Español

  • Número π — π (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en geometría euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El… …   Wikipedia Español

  • Logaritmo complejo — Una única rama del logaritmo complejo. El tono del color se utiliza para mostrar el argumento (ángulo de coordenadas polares) del logaritmo complejo. La intensidad del color se utiliza para mostrar el módulo del logaritmo complejo. La página con… …   Wikipedia Español

  • Determinante (matemática) — En matemáticas se define el determinante como una forma multilineal alternada de un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Sin embargo …   Wikipedia Español

  • 0,9 periódico — En matemáticas, 0,999... es el número decimal periódico que se demuestra denota[1] al número 1. En otras palabras, los símbolos 0,999... y 1 son dos representaciones distintas del mismo número real. Las demostraciones matemáticas de esta igualdad …   Wikipedia Español

  • Historia de la matemática — Página del Compendio de cálculo por el método de completado y balanceado de Muhammad ibn Mūsā al Khwārizmī (820 d.C.) La historia de las matemáticas es el área de estudio que abarca las investigaciones sobre los orígenes de los descubrimi …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”