Integral exponencial

Gráfica de la función E₁ (arriba) y de la función Ei (parte inferior).

En el ámbito de las matemáticas la integral exponencial es una función especial definida en el plano complejo e identificada con el símbolo Ei.

Contenido

1 Definiciones
2 Propiedades
3 Aplicaciones
4 Notas
5 Véase también
6 Referencias
7 Enlaces externos

Definiciones

Para valores reales de x, la integral exponencial Ei(x) se define como

$\mbox{Ei}(x)=\int_{-\infty}^x\frac{e^t}t\,dt.\,$

Esta definición puede ser utilizada para valores positivos de x, pero a causa de la singularidad del integrando en cero, la integral debe ser interpretada en término del valor principal de Cauchy. Para valores complejos del argumento, esta definición es ambigua a causa de los puntos de ramificación en 0 y en $\infty$ .^[1] En general, se realiza un corte en el eje real negativo y Ei puede ser definida mediante una continuación analítica en el resto del plano complejo.

Se utiliza la siguiente notación,^[2]

$\mathrm{E}_1(z) = \int_z^\infty \frac{e^{-t}}{t} dt,\qquad|{\rm Arg}(z)|<\pi$

Para valores positivos de la parte real de $z$ , esto se puede expresar como^[3]

$\mathrm{E}_1(z) = \int_1^\infty \frac{e^{-tz}}{t}\, dt,\qquad \Re(z) \ge 0.$

El comportamiento de E₁ cerca del branch cut puede ser analizado mediante la siguiente relación:^[4]

$\lim_{\delta\to0\pm}\mathrm{E_1}(-x+i\delta) = -\mathrm{Ei}(x) \mp i\pi,\qquad x>0,$

Propiedades

Las propiedades de la exponencial integral mostradas, en ocasiones, permiten sortear el la evaluación explícita de la función a partir de la definición dada arriba.

Series Convergentes

Tras integrar la serie de Taylor de $e - t / t$ , y extraer la singularidad logarítmica, se puede obtener la siguiente representación en forma de serie de $E 1 (x)$ para $x$ real:^[5]

$\mathrm{Ei}(x) = \gamma+\ln x+\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k\; k!} \qquad x>0$

Para argumentos complejos fuera del eje real, esta serie se generaliza a^[6]

$\mathrm{E_1}(z) =-\gamma-\ln z+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1} z^k}{k\; k!} \qquad (|\mathrm{Arg}(z)| < \pi)$

donde $γ$ es la constante de Euler-Mascheroni. La suma converge para todo $z$ complejo, y tomamos el valor usual del logaritmo complejo con el corte de rama a lo largo del eje real negativo.

Series Asintóticas

Error relativo de la aproximación asintótica para diferente numero $~N~$ de términos de la suma truncada

Por desgracia, la convergencia de las series mostradas arriba es muy lenta para argumentos con gran módulo. Por ejemplo, para x=10, se necesitan más de 40 términos para obtener una respuesta correcta con 3 cifras significativas.^[7] Sin embargo, existe una serie asintótica divergente que puede ser obtenida a partir de la integración de $z e z E 1 (z)$ por partes:^[8]

$\mathrm{E_1}(z)=\frac{\exp(-z)}{z}\sum_{n=0}^{N-1} \frac{n!}{(-z)^n}$

cuyo error es del orden $O (N! z - N)$ y es válida para grandes valores de $Re(z)$ . El error relativo de la serie asintótica se muestra en la gráfica de la derecha para varios valores de $N$ ( $N = 1$ en rojo, $N = 5$ en rosa). Cuando $x > 40$ , la aproximación dada con $N = 40$ es exacta en representación de doble precisión, de 64 bits.

Comportamiento exponencial y logarítmico: Cotas

Acotamiento de

E 1

por funciones elementales

De las series dadas arriba, se deduce que $E 1$ se comporta como una exponencial negativa para grandes valores del argumento y como un logaritmo para pequeños valores del mismo. Para valores reales positivos del argumento, $E 1$ queda acotada superior e inferiormente por funciones elementales como sigue:^[9]

$\frac{1}{2}e^{-x}\,\ln\!\left( 1+\frac{2}{x} \right) < \mathrm{E_1}(x) < e^{-x}\,\ln\!\left( 1+\frac{1}{x} \right) \qquad x>0$

La parte izquierda de la desigualdad se muestra en la gráfica de la izquierda en azul, la parte central, que es $E 1 (x)$ , es la curva negra y la parte de la derecha es la curva roja.

Definición mediante $Ein$

Las funciones $Ei$ y $E 1$ pueden ser escritas de forma más simple mediante la función entera $Ein$ ^[10] definida como

$\mathrm{Ein}(z) = \int_0^z (1-e^{-t})\frac{dt}{t} = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}z^k}{k\; k!}$

(nótese que esta es la serie alternante que aparecía en la definicion de $E 1$ ). Se sigue inmediatamente que:

$\mathrm{E_1}(z) \,=\, -\gamma-\ln z + {\rm Ein}(z) \qquad |\mathrm{Arg}(z)| < \pi$

$\mathrm{Ei}(x) \,=\, \gamma+\ln x - \mathrm{Ein}(-x) \qquad x>0$

Relación con otras funciones

La integral exponencial está altamente relacionada con la función logaritmo integral li(x) por la siguiente relación

$\mathrm{li}(x) = \mathrm{Ei}(\ln x)\,$

para valores positivos reales de $x$ .

La integral exponencial se puede generalizar a

${\rm E}_n(x) = \int_1^\infty \frac{e^{-xt}}{t^n}\, dt,$

que es una familia de funciones que puede representarse como un caso especial de la función gamma incompleta:^[11]

${\rm E}_n(x) =x^{n-1}\Gamma(1-n,x).\,$

Esta forma generizada se llama a veces función de Misra function^[12] $φ m (x)$ , que se define como

$\varphi_m(x)={\rm E}_{-m}(x).\,$

Derivadas

Las derivadas de las funciones $E n$ pueden ser obtenerse mediante el uso de la fórmula^[13]

$\mathrm{E_n}'(z) = -\mathrm{E_{n-1}}(z) \qquad (n=1,2,3,\ldots)$

Nótese que la función $E 0$ es sencilla de evaluar (dando un término inicial a la relación recursiva), pues es $e - z / z$ .^[14]