Base dual

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En álgebra lineal, una base dual o base biortogonal es un conjunto de vectores que forman una base para el espacio dual de un espacio vectorial. Para un espacio vectorial V de dimensiones finitas, el espacio dual V* es isomórfico a V y para cualquier conjunto dado de vectores base {e₁, …, e_n} de V, hay asociada una base dual {e¹,...,eⁿ} de V* con la relación

${{\mathbf{e}}^{*}}^{i}\cdot {{\mathbf{e}}_{j}}=\left\{ \begin{matrix} 1\text{,} & \text{si }i=j \\ 0\text{,} & \text{si }i\ne j \\ \end{matrix} \right.$

Concretamente, podemos escribir vectores en un espacio vectorial V de n dimensiones como una matriz de columna de n × 1 dimensiones y los elementos del espacio dual V* como matrices de fila de 1 × n que actuan como funcionales lineales por medio de la multiplicación matricial a la izquierda.

También se usa la delta de Kronecker como nomenclatura para la definición anterior como sigue

${{\mathbf{e}}^{*i}}\cdot {{\mathbf{e}}_{j}}=\delta _{j}^{i}$

Y en muchos textos de álgebra lineal también es común representar el producto punto o interno de dos vectores únicamente encerrando en un paréntesis el segundo vector como sigue

${{\mathbf{e}}^{*i}}\left( {{\mathbf{e}}_{j}} \right)=\delta _{j}^{i}$

Así como asumir que son vectores sin usar negritas, debido ya sea a que están en un producto punto o a que no tienen subíndices o superídices como sigue:

${{e}^{*i}}\left( {{e}_{j}} \right)=\delta _{j}^{i}$

Para el caso de un espacio tridimensional, teniendo una base dada e, se puede encontrar la base biortogonal (dual) por medio de estas fórmulas:

$e_1^*=\frac{\left[e_2;e_3\right]}{\left(e_1;e_2;e_3\right)}, e_2^*=\frac{\left[e_3;e_1\right]}{\left(e_1;e_2;e_3\right)}, e_3^*=\frac{\left[e_1;e_2\right]}{\left(e_1;e_2;e_3\right)}$

Cuyo uso se aclara mejor con el siguiente ejemplo.

Contenido

1 Ejemplo
2 Propiedades de la base dual
- 2.1 Efecto en un vector
- 2.2 Coordenadas respecto a la base dual

Ejemplo

Encontrar la base dual para un espacio en R³ cuyas bases están dadas por:

$\begin{matrix} {{\mathbf{e}}_{1}}=\left[ \begin{matrix} 5 \\ -2 \\ 6 \\ \end{matrix} \right] & {{\mathbf{e}}_{2}}=\left[ \begin{matrix} -3 \\ -1 \\ -4 \\ \end{matrix} \right] & {{\mathbf{e}}_{3}}=\left[ \begin{matrix} 9 \\ -5 \\ 7 \\ \end{matrix} \right] \\ \end{matrix}$

Calculamos la base dual para su espacio dual

${{\mathbf{e}}^{*1}}=\frac{\left| \left[ \begin{matrix} {{x}_{1}} & -3 & 9 \\ {{x}_{2}} & -1 & -5 \\ {{x}_{3}} & -4 & 7 \\ \end{matrix} \right] \right|}{\left| \left[ \begin{matrix} 5 & -3 & 9 \\ -2 & -1 & -5 \\ 6 & -4 & 7 \\ \end{matrix} \right] \right|}=\frac{-27}{39}{{x}_{1}}+\frac{-15}{39}{{x}_{2}}+\frac{24}{39}{{x}_{3}}=\left( \frac{-27}{39}\text{, }\frac{-15}{39}\text{, }\frac{24}{39} \right)$

${{\mathbf{e}}^{*2}}=\frac{\left| \left[ \begin{matrix} 5 & {{x}_{1}} & 9 \\ -2 & {{x}_{2}} & -5 \\ 6 & {{x}_{3}} & 7 \\ \end{matrix} \right] \right|}{\left| \left[ \begin{matrix} 5 & -3 & 9 \\ -2 & -1 & -5 \\ 6 & -4 & 7 \\ \end{matrix} \right] \right|}=\frac{-16}{39}{{x}_{1}}+\frac{-19}{39}{{x}_{2}}+\frac{7}{39}{{x}_{3}}=\left( \frac{-16}{39}\text{, }\frac{-19}{39}\text{, }\frac{7}{39} \right)$

${{\mathbf{e}}^{*3}}=\frac{\left| \left[ \begin{matrix} 5 & -3 & {{x}_{1}} \\ -2 & -1 & {{x}_{2}} \\ 6 & -4 & {{x}_{3}} \\ \end{matrix} \right] \right|}{\left| \left[ \begin{matrix} 5 & -3 & 9 \\ -2 & -1 & -5 \\ 6 & -4 & 7 \\ \end{matrix} \right] \right|}=\frac{14}{39}{{x}_{1}}+\frac{2}{39}{{x}_{2}}+\frac{-11}{39}{{x}_{3}}=\left( \frac{14}{39}\text{, }\frac{2}{39}\text{, }\frac{-11}{39} \right)$

para comprobar que nuestro resultado está bien, usamos la condición

${{\mathbf{e}}^{*}}^{i}\cdot {{\mathbf{e}}_{j}}=\left\{ \begin{matrix} 1\text{,} & \text{si }i=j \\ 0\text{,} & \text{si }i\ne j \\ \end{matrix} \right.$

que es equivalente en este caso a

$\left[ \begin{matrix} {{e}^{*}}_{1}^{1} & {{e}^{*}}_{2}^{1} & {{e}^{*}}_{3}^{1} \\ {{e}^{*}}_{1}^{2} & {{e}^{*}}_{2}^{2} & {{e}^{*}}_{3}^{2} \\ {{e}^{*}}_{1}^{3} & {{e}^{*}}_{2}^{3} & {{e}^{*}}_{3}^{3} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} e_{1}^{1} & e_{2}^{1} & e_{3}^{1} \\ e_{1}^{2} & e_{2}^{2} & e_{3}^{2} \\ e_{1}^{3} & e_{2}^{3} & e_{3}^{3} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]$

al sustituir se obtiene

$\left[ \begin{matrix} {-27}/{39}\; & {-15}/{39}\; & {24}/{39}\; \\ {-16}/{39}\; & {-19}/{39}\; & {7}/{39}\; \\ {14}/{39}\; & {2}/{39}\; & {-11}/{39}\; \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 5 & -3 & 9 \\ -2 & -1 & -5 \\ 6 & -4 & 7 \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]$

lo cual demuestra que nuestro procedimiento es correcto

Propiedades de la base dual

Efecto en un vector

Cada vector v de un espacio vectorial V puede ser expresado únicamente como una combinación lineal de los elementos de la base

$\mathbf{v}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{v}^{i}}{{\mathbf{e}}_{i}}}$

El resultado de aplicar e^*i en v es el siguiente:

${{\mathbf{e}}^{*i}}\cdot \left( \mathbf{v} \right)={{\mathbf{e}}^{*i}}\cdot \left( \sum\limits_{k=1}^{n}{{{v}^{i}}\cdot {{\mathbf{e}}_{k}}} \right)=\sum\limits_{k=1}^{n}{{{v}^{i}}\left( {{\mathbf{e}}^{*i}}\cdot {{\mathbf{e}}_{k}} \right)}=\sum\limits_{k=1}^{n}{{{v}^{i}}\left( \delta _{k}^{i} \right)}$

Y es por eso que e^*i es la transformación lineal (proyección) que "extrae" de un vector v la componente $v i$ de su vector de coordenadas respecto a la base.

Coordenadas respecto a la base dual

Hagamos que F sea un elemento genérico de V^*, es decir una transformación lineal F desde el espacio vectorial V al K. Aplicado a un vector

$\mathbf{v}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{v}^{i}}{{\mathbf{e}}_{i}}}$

Produce la relación:

$F\cdot \mathbf{v}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{v}^{i}}\left( F\cdot {{\mathbf{e}}_{i}} \right)}$

Como se muestra en la fórmula anterior la trasformación F solo actua sobre los elementos de la base de V. Por otra parte F transforma un vector en un elemento del espacio K, por lo que F es definido como n "números":

${{f}_{i}}=F\cdot {{\mathbf{e}}_{i}}$

En consecuencia, F es obtenida de una combinación lineal de:

$F=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{f}_{i}}{{\mathbf{e}}^{*i}}}$

En efecto esa es la relación:

$F\cdot \mathbf{v}=\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{{{f}_{i}}{{\mathbf{e}}^{*i}}} \right)\cdot \mathbf{v}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{f}_{i}}\left( {{\mathbf{e}}^{*i}}\cdot \mathbf{v} \right)}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{f}_{i}}{{v}^{*i}}}$

Cada transformación lineal F en V^* puede ser expresada únicamente como una combinación lineal de la transformación eⁱ y es por eso que:

(e^*1, ..., e^*n) es efectivamente una base de V^*, que es por lo tanto de dimensión n;
la f_i es el vector de coordenadas de F con respecto a tal base.

Obtenido de "Base dual"

Categoría: Álgebra lineal

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