Operador de proyección

Operador de proyección

En matemáticas, un operador de proyección P en un espacio vectorial es una transformación lineal idempotente, es decir, satisface la igualdad P2 = P.

Contenido

Introducción

Dichas transformaciones proyectan cualquier punto x del espacio vectorial a un punto del subespacio imagen de la transformación. En caso que x pertenezca al subespacio imagen, la proyección no tiene efecto, dejando el punto x fijo.[1]

Por ejemplo, el operador P definido en R3 de la forma siguiente

P \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x \\ 0 \\ z \end{pmatrix}

es un operador que "proyecta" el espacio R3 sobre el espacio de dimensión 2 que consiste de los vectores cuya coordenada y es cero.

Esta definición abstracta, de "proyector" o "proyección" generaliza la idea gráfica intuitiva de proyección extendiéndola a cualquier tipo de espacio vectorial, incluyendo el caso de dimensión infinita donde no resulta posible una aproximación gráfica.

Proyectores ortogonales o autoadjuntos

En general, dado un subespacio vectorial W de un espacio V, existen muchas proyecciones sobre V. Si el espacio es un espacio de Hilbert y se exige además que el operador P sea un autoadjunto, es decir

\langle P x, y\rangle = \langle x, P y \rangle, \quad x, y \in V

entonces la proyección sobre V es única. El término operador de proyección ortogonal significa operador de proyección autoadjunto.

En física, el término operador de proyección es sinónimo con proyección ortogonal

Referencia

Notas

  1. ↑ Meyer, pp 386+387

Bibliografía

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