Conjunto algebraico

Conjunto algebraico

En Geometría algebraica, un conjunto algebraico es el conjunto de ceros comunes a un conjunto de polinomios.

Esto es, si S={p1, p2, ..., pt} es un conjunto de polinomios en n variables, el conjunto algebraico correspondiente a S, denotado por V(S) se define como

V(S) = \{ u=(x_1,x_2,\ldots,x_n) :  p_j(u)=0, \mathrm{\ para\ }j=1,2,\ldots,j\}\,.

O de forma alterna, el conjunto de puntos tales que al ser sustituidos en cada uno de los polinomios se obtiene cero.

Cuando S consta de un sólo elemento {p}, se suele escribir V(p) en vez de V({p}).

Ejemplos

Conjuntos algebraicos determinados por f(x,y)=x²-y², g(x,y)=x-y.

Consideremos, los polinomios

f(x,y) = x^2-y^2,\qquad g(x,y)=x-y.

El conjunto de ceros de f, esto es, los puntos que satisfacen f(x,y)=0 es

V(f) = \{ (a,a)\} \cup \{ (a,-a)\},\quad para cualquier valor real de a.

Por otro lado, el conjunto de ceros de g es

V(g) = \{ (a,a)\},\quad para cualquier valor real de a.

Ambos conjuntos son por tanto ejemplos de conjuntos algebraicos (definidos por sólo un polinomio). Finalmente el conjunto algebraico definido por {f, g} es la intersección de V(f) con V(g), pues ésta contiene a los ceros comunes a ambos polinomios:

V(\{f,g\}) = \{ (a,a)\},\quad para cualquier valor real de a.


Conjuntos algebraicos determinados por f(x,y)=x²-y², g(x,y)=x²+y²-4.

Por otro lado, si

f(x,y) = x^2-y^2,\qquad g(x,y)=x^2+y^2-4.

entonces V(g) es el círculo con centro en el origen y radio 2. Para estos dos polinomios,

V(\{f,g\}) = \left\{ (\sqrt{2},\sqrt{2}),  (\sqrt{2},-\sqrt{2}),  (-\sqrt{2},\sqrt{2}),  (-\sqrt{2},-\sqrt{2}) \right\},\quad.

Si bien los ejemplos considerados corresponden a polinomios en 2 variables reales, los conjuntos algebraicos se definen sobre cualquier campo F, de modo que si los polinomios tienen n variables, el conjunto algebraico correspondiente quedará formado por puntos en el espacio afín Fn.


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