Número algebraico

Número algebraico

Un número algebraico es cualquier número real o complejo que es solución de una ecuación polinómica de la forma:

a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_1x+a_0 = 0\,

Donde:

n > 0 (a_n \ne 0), es el grado del polinomio.
a_i \in \mathbb{Z}, los coeficientes del polinomio son números enteros.

Contenido

Ejemplos

  • Todos los números racionales son algebraicos porque toda fracción de la forma a / b es solución de bx − a = 0.
  • Algunos números irracionales como:\sqrt 2 y \frac{\sqrt[3]{3}}{2} también son algebraicos porque son soluciones de x2 - 2 = 0 y 8x3 - 3 = 0, respectivamente.
  • Otros irracionales no son algebraicos, como π (Lindemann, 1882) y e (Hermite, 1873). Son, en consecuencia, trascendentes.[1]
  • i es algebraico, siendo raíz de x^2 + 1 = 0\,.

Clasificación de los complejos

  • Si un número real o complejo no es algebraico, se dice que es trascendente.
  • Si un número algebraico es solución de una ecuación polinómica de grado n, y no es solución de una ecuación polinómica de grado menor m < n, entonces se dice que es un número algebraico de grado n (n > 0).

Los números racionales son números algebraicos de primer grado, pues para todo racional \scriptstyle r = p/q;\ p,q\in \mathbb{Z}, siempre podemos escribir una ecuación polinómica de grado uno con coeficientes enteros \scriptstyle qx - p = 0 cuya solución es precisamente \scriptstyle r.

En cambio, los irracionales -aunque pueden ser números algebraicos- nunca pueden ser números algebraicos de grado 1.

Propiedades del conjunto de los números algebraicos

  1. La suma, diferencia, producto o cociente de dos números algebraicos vuelve a ser algebraico, y por lo tanto los números algebraicos constituyen un cuerpo matemático.
  2. Como consecuencia de lo anterior, todos los números que pueden escribirse a partir de los racionales empleando solamente las operaciones aritméticas +, -, *, /, potencias y raíces son algebraicos. Sin embargo, existen números algebraicos que no pueden escribirse de esta forma, y son todos de grado >5. Ésta es una consecuencia de la Teoría de Galois.
  3. Puede demostrarse que si los coeficientes ai son números algebraicos cualesquiera, la solución de la ecuación volverá a ser un número algebraico. En otras palabras, el cuerpo de los números algebraicos es algebraicamente cerrado. De hecho, los números algebraicos son el cuerpo algebraicamente cerrado más pequeño que contiene los racionales (su clausura algebraica).

El conjunto de los números algebraicos, a veces denotado como \scriptstyle \mathbb{A} forma un cuerpo con las operaciones heredadas de los complejos \scriptstyle \mathbb{C}. A diferencia de los números complejos los números algebraicos son un conjunto numerable.[2] y por tanto su cardinal es alef 0). Esto es una consecuencia de que el conjunto de polinomios con coeficientes enteros es numerable.

Enteros algebraicos

Artículo principal: Número entero algebraico

Un número algebraico que satisface una ecuación polinómica de grado n con an = 1 se denomina entero algebraico. Algunos ejemplos de enteros algebraicos son: 3×21/2 + 5, 6i - 2. La suma, diferencia y producto de enteros algebraicos vuelve a ser un entero algebraico, lo que significa que los enteros algebraicos forman un anillo. El nombre de entero algebraico proviene del hecho de que los únicos números racionales que son enteros algebraicos son los propios enteros.

Extensiones algebraicas

Artículo principal: Extensión algebraica

Las nociones de número algebraico y de entero algebraico pueden ser generalizadas a otros campos, no sólo aplican al de los complejos; véase extensión algebraica.

En general, si tenemos dos cuerpos (K,+,\cdot) y (L,+,\cdot) de forma que el segundo es extensión del primero, diremos que \alpha \in L es algebraico sobre K si existe un polinomio p \in K[x] del que \alpha\, es raíz (p(\alpha)=0\,).

Véase también

Números
Complejos \mathbb{C}
Reales \mathbb{R}
Racionales \mathbb{Q}
Enteros \mathbb{Z}
Naturales \mathbb{N}
Uno
Primos
Compuestos
Cero
Negativos
Fraccionarios
Fracción propia
Fracción impropia
Irracionales
Algebraicos irracionales
Trascendentes
Imaginarios

Referencias

  1. ↑ Weisstein, Eric W. "Transcendental Number." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
  2. ↑ Hecho conocido demostrado por Dedekind, tal como testimonia su correspondencia

Wikimedia foundation. 2010.

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