Coordenadas generalizadas

Coordenadas generalizadas

Se denominan informalmente coordenadas generalizadas a un conjunto cualquiera de parámetros numéricos que sirven para determinar de manera unívoca la configuración de un mecanismo o sistema mecánico con un número finito de grados de libertad. Más formalmente, las coordenadas generalizadas se definen como un sistema de coordenadas curvilíneas sobre la variedad de configuración de un sistema físico como por ejemplo el espacio de configuración o el espacio de fases de la mecánica clásica.

El número mínimo de coordenadas generalizadas para definir el estado del sistema se conoce como: coordenadas independientes. En este contexto, las coordenadas pueden ser absolutas (referidas a un sólido inmóvil, respecto del cual el mecanismo "se mueve"); o bien pueden ser relativas a otro miembro del mecanismo.

Contenido

Mecánica lagrangiana

Noción intuitiva

La mecánica newtoniana usa sistemas de referencia con ejes cartesianos en que la posición de una partícula puntual en un instante dado viene dada por un vector del espacio euclídeo. Las ecuaciones de movimiento son ecuaciones diferenciales que relacionan las derivadas de la posición con la posición de las otras partículas. Sin embargo, matemáticamente podemos usar un conjunto de coordenadas curvilíneas cualesquiera tales que el vector posición pueda ser expresado en términos de esas coordenadas y viceversa. Esto implica que en un sistema de P partículas (y 2N grados de libertad) existirán funciones invertibles de la otra tales que:

\begin{cases} \mathbf{r}_i = \mathbf{r}_i(q_1,...,q_{2N},t) & i\in\{1,...,P\}\\ q_j = q_j(\mathbf{r}_1,...,\mathbf{r}_P,t) & j\in\{1,...,2N\} \end{cases}

Noción formal

Formalmente, en mecánica lagrangiana el estado físico de un sistema mecánico, también llamado estado de movimiento, viene representado por un punto del espacio de configuración "ampliado". Este espacio se designa por TQ y matemáticamente es el fibrado tangente del espacio de configuración Q de posibles posiciones. Por construcción el espacio de configuración ampliado tiene una estructura de variedad diferenciable de dimensión 2N, siendo N el número de grados de libertad del sistema. Naturalmente los 2N números anteriores tienen que ver con las coordenadas curvilíneas en términos de los cuales representamos la posición ordinaria de una partícula.

De la discusión anterior se sigue que un conjunto adecuado de coordenadas generalizadas para un sistema lagrangiano no puede venir dado por un conjunto cualquiera de m números reales sino que debe existir un conjunto abierto U del fibrado tangente TQ y una función de clase Ck, con k > 1, tal que:

\phi_q: U \subset TQ \to \mathbb{R}^{2N} \qquad (p,v)\in U \rightarrow (q_1,...,q_N,\dot{q}_1,...,\dot{q}_N) = \phi_q(p,v)


Un sistema como el anterior se llama sistema natural. Sin embargo, algunos sistemas admiten coordenadas generalizadas más complicadas que dependen además del tiempo, como se discutió al principio y esos sistemas requieren ser descritos mediante una variedad de dimensión 2N+1 siendo los detalles similares.

Mecánica hamiltoniana

La situación en mecánica hamiltoniana es similar a la que se presenta en mecánica lagrangiana ya que el estado de un sistema físico se representa por un punto del llamado espacio fásico (que es una variedad simpléctica construida sobre el espacio de configuración "ampliado" del sistema).

En una variedad simpléctica (M,ω) pueden escogerse diversos sistemas de coordenadas generalizadas, pero tienen especial interés los sistemas de coordenadas canónicas. El teorema de Darboux garantiza que alrededor de cualquier punto existe un entorno y un sistema de coordenadas en el cual la 2-forma simpléctica tiene la forma:

\omega = \sum_i dp_i \and dq_i


Un sistema de coordenadas como el anterior es un sistema de coordenadas canónicas, donde la coordenada pi se llama momento conjugado de la coordenada qi. En un sistema de coordenadas canónicas las ecuaciones de Hamilton toman su forma canónica.

Otros contextos

En ciertos problemas mecánicos sencillos como el problema de las vibraciones u oscilaciones acopladas aparecen sistemas de coordenadas generalizadas no relacionados con ninguna medida directa realizable sobre el sistema físico, pero útiles en la resolución matemática de los problemas.

Un problema de oscilaciones acopladas puede resolverse mediante ciertos cambios de variables que llevan a las coordenadas normales o amplitudes de los modos propios de vibración, que son de hecho una forma particular de coordenadas generalizadas para el problema mecánico original. El problema de oscilaciones acopladas, aparece por ejemplo en las vibraciones térmicas de un cristal, o el movimiento horizontal de un edificio en un terremoto o el movimiento de un sistema de masas unidas por muelles o resortes. Estos problemas conducen a un sistema de ecuaciones del siguiente tipo:

m_i\ddot{x}_i + \sum_{k=1}^N k_{ik}x_k = 0

Que puede resolverse fácilmente definiendo unas nuevas coordenadas llamadas coordenadas normales, definidas mediante un cambio lineal:

\begin{Bmatrix} q_1 \\ \vdots \\ q_N \end{Bmatrix} = +\begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1N} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{N1} & \cdots & a_{NN} \end{bmatrix}^{-1} \begin{Bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_N \end{Bmatrix}

Donde la matriz cambio de masa se calcula a partir de los modos propios del sistema. Con ese cambio el sistema se conviente en un conjunto de N ecuaciones sencillas del tipo:

\begin{matrix} \ddot{q}_1 + \omega_1^2 q_1 = 0 \\ \vdots \\ \ddot{q}_N + \omega_N^2 q_N = 0 \end{matrix}


Cada una de las cuales es de resolución inmediata. Es interesante notar que estos modos no son cantidades directamente medibles, sino sólo un sistema de coordenadas con dimensiones de longitud matemáticamente adecuado, pero que de no están relacionadas de manera directa o natural con ninguna medición realizable sobre el sistema.

Véase también


Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Mira otros diccionarios:

  • Coordenadas independientes — Se conoce como coordenadas independientes al número mínimo de coordenadas necesarias para definir la posición de un mecanismo dado. Si el sistema es holónomo, coincide con los grados de libertad. A diferencia de los grados de libertad, se… …   Wikipedia Español

  • Coordenadas elípticas — Sistema de coordenadas elípticas. Las coordenadas elípticas son un sistema bidimensional de coordenadas curvilíneas ortogonales en los que las líneas coordenadas son elipses confocales e hipérbolas. Los dos focos F1 y F2 …   Wikipedia Español

  • Coordenadas baricéntricas (n-simplex) — Las coordenadas baricéntricas permiten parametrizar mediante n+1 números reales en el intervalo [0,1] el interior de un n simplex. En realidad, de las n+1 coordenadas baricéntricas sólo n son independientes, ya que la suma de todas es igual a uno …   Wikipedia Español

  • Velocidades generalizadas — Se conoce como velocidades generalizadas al conjunto de parámetros con los que se puede definir la velocidad de cualquier punto de un mecanismo. Se expresan mediante el vector de velocidades generalizadas. Existen principalmente dos formas de… …   Wikipedia Español

  • Mecánica lagrangiana — La mecánica lagrangiana es una reformulación de la mecánica clásica introducida por Joseph Louis Lagrange en 1788. En la mecánica lagrangiana, la trayectoria de un objeto es obtenida encontrando la trayectoria que minimiza la acción, que es la… …   Wikipedia Español

  • Mecánica hamiltoniana — La mecánica hamiltoniana fue formulada en 1833 por William R. Hamilton. Como la mecánica lagrangiana, es una reformulación de la mecánica clásica. La mecánica hamiltoniana puede ser formulada por sí misma, usando los espacios simplécticos, sin… …   Wikipedia Español

  • Lagrangiano — En física, un lagrangiano es una función matemática a partir de la cual se pueden obtener la evolución temporal, las leyes de conservación y otras propiedades importantes de un sistema físico. De hecho, en física moderna el lagrangiano se… …   Wikipedia Español

  • Ecuación de Hamilton-Jacobi — Saltar a navegación, búsqueda La ecuación de Hamilton Jacobi es una ecuación diferencial en derivadas parciales usada en mecánica clásica y mecánica relativista que permite encontrar las ecuaciones de evolución temporal o de movimiento . La… …   Wikipedia Español

  • Mecánica clásica — El Sistema Solar puede ser explicado con gran aproximación mediante la mecánica clásica, concretamente, mediante las leyes de Newton y la ley de la gravitación universal de Newton. Sólo algunas pequeñas desviaciones en el perihelio de mercurio… …   Wikipedia Español

  • Cantidad de movimiento — La cantidad de movimiento, momento lineal, ímpetu o moméntum es una magnitud vectorial, que en mecánica clásica se define como el producto de la masa del cuerpo y su velocidad en un instante determinado. En cuanto al nombre, Galileo Galilei en su …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”