Cota ajustada asintótica

Cota ajustada asintótica

Cota ajustada asintótica

En análisis de algoritmos una cota ajustada asintótica es una función que sirve de cota tanto superior como inferior de otra función cuando el argumento tiende a infinito. Usualmente se utiliza la notación Θ(g(x)) para referirse a las funciones acotadas por la función g(x).

Más formalmente se define:

\Theta(g(x)) = \left\{\begin{matrix} f(x) : \mbox{existen } c_1,c_2,x_0 \mbox{ constantes positivas tales que} \\ \forall x:x_0\le x: 0\le c_1g(x)\le f(x)\le c_2g(x) \end{matrix}\right\}

Una función f(x) pertenece a Θ(g(x)) cuando existen constantes positivas c1 y c2 tales que a partir de un valor x0 f(x) se encuentra atrapada entre c1g(x) y c2g(x). Quiere decir que las funciones f y g son iguales a partir de un valor dado salvo por una factor constante. Por tanto tiene sentido tomar a g como un representante de f.

f(x)=Θ(g(x))

A pesar de que Θ(g(x)) está definido como un conjunto, se acostumbra escribir f(x)=Θ(g(x)) en lugar de f(x)∈Θ(g(x)). Muchas veces también se habla de la función en lugar de h(x)=x² siempre que esté claro cual es el parámetro de la función dentro de la expresión. En la gráfica se da un ejemplo esquemático de cómo se comportan c1g(x) y c2g(x) con respecto a f(x) cuando x tiende a infinito.

La cota ajustada asintótica tiene relación con las cotas superior e inferior asintóticas (respectivamente las notaciones O y Ω):

f(x) = Θ(g(x)) si y solo si f(x) = O(g(x)) y f(x) = Ω(g(x))

Ejemplos

  • La función f(x) = x+10 puede ser acotada por la función g(x) = x. Para demostrarlo basta notar que para todo valor de x≥1 se cumple que g(x)≤f(x)≤11g(x), es decir x ≤ x+10 ≤ 11x . Por lo tanto x+10 = Θ(x).

Véase también

Bibliografía

  • Introduction to Algorithms, Second Edition by Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein
Obtenido de "Cota ajustada asint%C3%B3tica"

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