- Notación de Landau
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En matemática, la Notación de Landau, también llamada "o minúscula" y "O mayúscula", es una notación para la comparación asintótica de funciones, lo que permite establecer la cota inferior asintótica, la cota superior asintótica y la cota ajustada asintótica.
Contenido
Definición
La notación de Landau se define de la siguiente forma:
Si f, g son funciones complejas definidas en un entorno de un punto x0, entonces
cuando
si y sólo si existe un ε > 0 tal que
para todo x en un entorno de
.
cuando
si y sólo si para todo ε > 0 tenemos que
para todo x en un entorno de
.
Una versión un poco mas restrictiva pero mas manejable que la definición anterior es la siguiente:
Sean
,
dos funciones definidas para
x_0.\,\!" border="0"> y sea
x_0\,\!" border="0">. Los simbólos
,
significan respectivamente que
cuando
, y que
está acotado para
suficientemente grande. La misma notación es usada cuando
tiende a un límite finito o a
, o también cuando
tiende a su límite a través de una secuencia discreta de valores. En particular, una expresión es
o
si tal expresión tiende a cero o esta acotada respectivamente.
Dos funciones
y
definidas en una vecindad de un punto
(finito o infinito) son llamadas asintóticamente iguales si
cuando
Si las fracciones
,
están acotadas en una vecindad de
se dice que que
,
son del mismo orden cuando
Propiedades
Contexto de las propiedades
Sean
y supóngase que
es una función definida sobre un intervalo finito o infinito
y es integrable sobre cualquier intervalo
con
podemos escribir
Sea
una sucesión de numeros y sea
la misma notación será utilizada para otras letras. Se tienen las siguientes propiedades:
- Suponga que
,
estan definidas en
e integrables sobre cualquier
, que
y que
cuando
. Si
cuando
, entonces también se tendrá que
- Sean
dos sucesiones de numeros, esta última positiva. Si
y
, entonces
- Suponga que la serie
converge, que los
's son positivos, y que
. entonces
- Sea
una función positiva, monótona y finita definida para
y sea
Entonces
(i) sidecrementa, F(n) − fn tiende a un límite finito
(ii) siincrementa,
- Sea
positiva, finita y monótona para
. Si se cumple (i)
incrementa y
o (ii)
incrementa y
, entonces
F_n\,\!</math> es asintóticamente igual a
Véase también
Bibliografía
- Trigonometric Series vol 1 A. Zygmund
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