Notación de Landau

Notación de Landau

En matemática, la Notación de Landau, también llamada "o minúscula" y "O mayúscula", es una notación para la comparación asintótica de funciones, lo que permite establecer la cota inferior asintótica, la cota superior asintótica y la cota ajustada asintótica.

Contenido

Definición

La notación de Landau se define de la siguiente forma:

Si f, g son funciones complejas definidas en un entorno de un punto x0, entonces

  • f=O(g) \,\! cuando x\rightarrow x_0 si y sólo si existe un ε > 0 tal que |f(x)| \leq \epsilon |g(x)| para todo x en un entorno de x_0 \,\!.
  • f=o(g) \,\! cuando x\rightarrow x_0 si y sólo si para todo ε > 0 tenemos que |f(x)| < \epsilon |g(x)|\,\! para todo x en un entorno de x_0 \,\!.

Una versión un poco mas restrictiva pero mas manejable que la definición anterior es la siguiente:

Sean f(x)\,\!, g(x)\,\! dos funciones definidas para x>x_0.\,\! y sea g(x)\neq 0\ \ \forall x>x_0\,\!. Los simbólos

f=O(g)\,\! , f=o(g)\,\!

significan respectivamente que f(x)/g(x) \to 0 \,\! cuando x\to -\infty \,\!, y que f(x)/g(x)\,\! está acotado para x\,\! suficientemente grande. La misma notación es usada cuando x\,\! tiende a un límite finito o a -\infty\,\! , o también cuando x\,\! tiende a su límite a través de una secuencia discreta de valores. En particular, una expresión es o(1)\,\! o O(1)\,\! si tal expresión tiende a cero o esta acotada respectivamente.

Dos funciones f(x)\,\! y g(x)\,\! definidas en una vecindad de un punto x_0\,\! (finito o infinito) son llamadas asintóticamente iguales si f(x)/g(x)\to 1\,\! cuando x\to x_0\,\!

Si las fracciones f(x)/g(x)\,\! , g(x)/f(x)\,\! están acotadas en una vecindad de x_0\,\! se dice que que f(x)\,\! , g(x)\,\! son del mismo orden cuando x\to x_0\,\!

Propiedades

Contexto de las propiedades

Sean a,b\in\mathbb{R}\,\! y supóngase que f\,\! es una función definida sobre un intervalo finito o infinito a\leq x<b\,\! y es integrable sobre cualquier intervalo (a,b')\,\! con b'<b\,\! podemos escribir

F(x)=\int_a^{x}f(t)\mathrm{d}t \ \ x\in(a,b')\,\!

Sea u_0,u_1,u_2,\ldots \,\! una sucesión de numeros y sea

U_\nu=u_0+u_1+\cdots + u_\nu \ \ (\nu=0,1,\ldots)\,\!

la misma notación será utilizada para otras letras. Se tienen las siguientes propiedades:

  1. Suponga que f(x)\,\! , g(x)\,\! estan definidas en a\leq x<b\,\! e integrables sobre cualquier (a,b')\,\! , que g(x)\geq0 \,\! y que G(x)\to +\infty\,\! cuando x\to b\,\! . Si f(x)=o(g(x))\,\! cuando x\to b\,\! , entonces también se tendrá que
    F(x)=o(G(x))\,\!
  2. Sean \{u_\nu\},\ \{v_\nu\},\ \,\! dos sucesiones de numeros, esta última positiva. Si \{u_\nu\}=o \{v_\nu\},\ \,\! y V_\nu\to+\infty \,\!, entonces
    U_\nu=o(V_\nu) \,\!
  3. Suponga que la serie \sum v_\nu \,\! converge, que los v\,\!'s son positivos, y que u_\nu=o(v_\nu) \,\!. entonces
    u_\nu+u_{\nu+1}+\cdots= o(v_\nu+v_{\nu+1}+\cdots)\,\!
  4. Sea f(x) \,\! una función positiva, monótona y finita definida para x\geq0 \,\! y sea
    F(x)=\int_0^{x}f\mathrm{d}t,\ \ \ F_n=f(0)+f(1)+\cdots+f(n). \,\!
    Entonces
    (i) si f(x)\,\! decrementa, F(n) − fn tiende a un límite finito
    (ii) si f(x)\,\! incrementa, F(n)\leq F_n\leq F(n)-f(n)_n\to+\infty
  5. Sea f(x)\,\! positiva, finita y monótona para x\geq0\,\!. Si se cumple (i) f(x)\,\! incrementa y F(x)\to\infty \,\! o (ii) f(x)\,\! incrementa y f(x)=o(F(x)) \,\!, entonces
    F_n\,\!</math> es asintóticamente igual a F(n) \,\!

\,\!

Véase también

Bibliografía

  • Trigonometric Series vol 1 A. Zygmund

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Mira otros diccionarios:

  • Landau — puede referire a varias poblaciones: Landau in der Pfalz, en Renania Palatinado, Alemania. Landau an der Isar, en Baviera, Alemania. Petit Landau, en el Alto Rin, en Alsacia, Francia. También puede referirse al distrito de Dingolfing Landau, en… …   Wikipedia Español

  • Notación de Hardy — En la teoría de la complejidad computacional y en matemáticas, la notación de Hardy, introducida por G. H. Hardy, se utiliza para la comparacion asintótica de las funciones, siendo equivalente a la notación de Landau. En la notación de Landau,… …   Wikipedia Español

  • Cota superior asintótica — En análisis de algoritmos una cota superior asintótica es una función que sirve de cota superior de otra función cuando el argumento tiende a infinito. Usualmente se utiliza la notación de Landau O(g(x)) (o coloquialmente llamada Notación O… …   Wikipedia Español

  • Número primo — Un número primo es un número natural mayor que 1, que tiene únicamente dos divisores distintos: él mismo y el 1. Se contraponen así a los números compuestos, que son aquellos que tienen algún divisor natural aparte de sí mismos y del 1. El número …   Wikipedia Español

  • Cota inferior asintótica — En análisis de algoritmos una cota inferior asintótica es una función que sirve de cota inferior de otra función cuando el argumento tiende a infinito. Usualmente se utiliza la notación Ω(g(x)) para referirse a las funciones acotadas… …   Wikipedia Español

  • Criba del campo de los números especiales — Saltar a navegación, búsqueda La criba especial de cuerpo de números especiales (en inglés special number field sieve, SNFS) es un algoritmo especializado de factorización en números primos. Cuando la frase “criba de cuerpo de números” se utiliza …   Wikipedia Español

  • Análisis asintótico — Saltar a navegación, búsqueda En matemáticas puras y aplicadas, en particular el análisis de algoritmos, el análisis asintótico es un método de descripción de la limitación de comportamiento. Limitar el comportamiento se expresa en el lenguaje de …   Wikipedia Español

  • Extrapolación de Richardson — Saltar a navegación, búsqueda El método de extrapolación de Richardson fue desarrollado por Lewis Fry Richardson (1881 1953). Se puede utilizar para mejorar los resultados de un método numérico a partir de una estimación de igual forma mejora la… …   Wikipedia Español

  • Teoremas de Mertens — En matemáticas, los teoremas de Mertens (por Franz Martens, que los demostró) son tres resultados de teoría de números enunciados en 1874 y que tratan sobre la densidad de los números primos, y otro resultado de análisis. Contenido 1 Teoría de… …   Wikipedia Español

  • Serie asintótica — En matemáticas, una expansión asintótica o serie asintótica o serie de Poincaré es una serie formal de funciones tal que converge asintóticamente a una función dada, esto significa que si cortamos la serie se obtiene una aproximación de la… …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”