Covarianza

Covarianza

Covarianza

En estadística la covarianza es una medida de dispersión conjunta de dos variables estadísticas.

Definición

La covarianza S(X,Y) de dos variables aleatorias X e Y se define como:

S_{xy} = \frac 1n \sum_{i=1}^n { (x_i - \overline{x})(y_i - \overline{y})} = {1 \over n} \sum_{i,j}^n {x_{i.}y_{.j}n_{ij}} - \overline{x} \overline{y}
  • Si Sxy > 0 hay dependencia directa (positiva), es decir, a grandes valores de x corresponden grandes valores de y.
  • Si Sxy = 0 Una covarianza 0 se interpreta como la no existencia de una relación lineal entre las dos variables estudiadas.
  • Si Sxy < 0 hay dependencia inversa o negativa, es decir, a grandes valores de x corresponden pequeños valores de y.

La matriz de covarianza ΣXY de dos variables aleatorias n-dimensionales expresadas como vectores columna X=(X_1,\ldots,X_n)^t e Y=(Y_1,\ldots,Y_n)^t se define como:

S_{XY}={\operatorname{E}([X - \operatorname{E}(X)][Y - \operatorname{E}(Y)]^t)}

donde \operatorname{E}(\cdot) es el operador esperanza.

Propiedades

  1. Si a todos los valores de la variable x, les sumamos una constante k y a todos los valores de la variable y, les sumamos una constante k’, la covarianza no varía.
  2. Si a todos los valores de una variable x los multiplicamos por una constante k y a todos los valores de la variable y, los multiplicamos por una constante k’, su covarianza queda multiplicada por el producto de las constantes.
  3. A partir de las anteriores: si tenemos dos variables x, y con la covarianza Sxy, y transformaciones lineales de las variables de la forma z=ax+b, y t=cy+d, la nueva covarianza se relaciona con la anterior de la forma: Szt = acSxy.
  4. Cov(x,y) = Cov(y,x)

Si X, Y, W, y V son variables aleatorias de valores reales y a, b, c, d son constantes ("constante" en este contexto significa no aleatorio), luego las siguientes verdades son consecuencia de la definición de covarianza:

\operatorname{Cov}(X, a) = 0 \,
\operatorname{Cov}(X, X) = \operatorname{Var}(X)\,
\operatorname{Cov}(X, Y) = \operatorname{Cov}(Y, X)\,
\operatorname{Cov}(aX, bY) = ab\, \operatorname{Cov}(X, Y)\,
\operatorname{Cov}(X+a, Y+b) = \operatorname{Cov}(X, Y)\,
\operatorname{Cov}(aX+bY, cW+dV) = ac\,\operatorname{Cov}(X,W)+ad\,\operatorname{Cov}(X,V)+bc\,\operatorname{Cov}(Y,W)+bd\,\operatorname{Cov}(Y,V)\,

Véase también

Obtenido de "Covarianza"

Wikimedia foundation. 2010.

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