Matriz de covarianza

Matriz de covarianza

En estadística y teoría de la probabilidad, la matriz de covarianza es una matriz que contiene la covarianza entre los elementos de un vector. Es la generalización natural a dimensiones superiores del concepto de varianza de una variable aleatoria escalar.

Contenido

Definición

Si las entradas del vector-columna

X = \begin{bmatrix}X_1 \\ \vdots \\ X_n \end{bmatrix}

son variables aleatorias, cada una con varianza finita, entonces la matriz de covarianza Σ es la matriz cuya entrada (i, j) es la covarianza

\Sigma_{ij} =\mathrm{E}\begin{bmatrix} (X_i - \mu_i)(X_j - \mu_j) \end{bmatrix}

donde

\mu_i = \mathrm{E}(X_i)\,

es el valor esperado de la entrada i-ésima del vector X. En otras palabras, tenemos

\Sigma = \begin{bmatrix} \mathrm{E}[(X_1 - \mu_1)(X_1 - \mu_1)] & \mathrm{E}[(X_1 - \mu_1)(X_2 - \mu_2)] & \cdots & \mathrm{E}[(X_1 - \mu_1)(X_n - \mu_n)] \\ \\ \mathrm{E}[(X_2 - \mu_2)(X_1 - \mu_1)] & \mathrm{E}[(X_2 - \mu_2)(X_2 - \mu_2)] & \cdots & \mathrm{E}[(X_2 - \mu_2)(X_n - \mu_n)] \\ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\ \mathrm{E}[(X_n - \mu_n)(X_1 - \mu_1)] & \mathrm{E}[(X_n - \mu_n)(X_2 - \mu_2)] & \cdots & \mathrm{E}[(X_n - \mu_n)(X_n - \mu_n)] \end{bmatrix}.

Como una generalización de la varianza

La anterior definición es equivalente a la igualdad matricial

\Sigma=\mathrm{E} \left[ \left( \textbf{X} - \mathrm{E}[\textbf{X}] \right) \left( \textbf{X} - \mathrm{E}[\textbf{X}] \right)^\top \right]

Por tanto, se entiende que esto generaliza a mayores dimensiones el concepto de varianza de una variable aleatoria escalar X, definida como

\sigma^2 = \mathrm{var}(X) = \mathrm{E}[(X-\mu)^2], \,

donde

\mu = \mathrm{E}(X).\,


Propiedades

Para \Sigma=\mathrm{E} \left[ \left( \textbf{X} - \mathrm{E}[\textbf{X}] \right) \left( \textbf{X} - \mathrm{E}[\textbf{X}] \right)^\top \right] y \mu = \mathrm{E}(\textbf{X}), las siguientes propiedades fundamentales se demuestran correctas:

  1. \Sigma = \mathrm{E}(\mathbf{X X^\top}) - \mathbf{\mu}\mathbf{\mu^\top}

  2. \mathbf{\Sigma} es semidefinida positiva

  3. \operatorname{var}(\mathbf{A X} + \mathbf{a}) = \mathbf{A}\, \operatorname{var}(\mathbf{X})\, \mathbf{A^\top}

  4. \operatorname{cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y}) = \operatorname{cov}(\mathbf{Y},\mathbf{X})^\top

  5. \operatorname{cov}(\mathbf{X_1} + \mathbf{X_2},\mathbf{Y}) = \operatorname{cov}(\mathbf{X_1},\mathbf{Y}) + \operatorname{cov}(\mathbf{X_2}, \mathbf{Y})

  6. Si los vectores \mathbf{X} y \mathbf{Y} son de igual dimensión, entonces \operatorname{var}(\mathbf{X} + \mathbf{Y}) = \operatorname{var}(\mathbf{X}) + \operatorname{cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y}) + \operatorname{cov}(\mathbf{Y}, \mathbf{X}) + \operatorname{var}(\mathbf{Y})

  7. \operatorname{cov}(\mathbf{AX}, \mathbf{BY}) = \mathbf{A}\, \operatorname{cov}(\mathbf{X}, \mathbf{Y}) \,\mathbf{B}^\top

  8. Si \mathbf{X} y \mathbf{Y} son independientes, entonces \operatorname{cov}(\mathbf{X}, \mathbf{Y}) = 0

donde \mathbf{X}, \mathbf{X_1} y \mathbf{X_2} son vectores aleatorios de dimensión \mathbf{(p \times 1)}, \mathbf{Y} es un vector aleatorio \mathbf{(q \times 1)}, \mathbf{a} es \mathbf{(p \times 1)}, \mathbf{A} y \mathbf{B} son matrices de \mathbf{(p \times q)}.

La matriz de covarianza (aunque muy simple) es una herramienta muy útil en varios campos. A partir de ella se puede derivar una transformación lineal que puede de-correlacionar los datos o, desde otro punto de vista, encontrar una base óptima para representar los datos de forma óptima (véase cociente de Rayleigh para la prueba formal y otras propiedades de las matrices de covarianza). Esto se llama análisis del componente principal (PCA por sus siglas en inglés) en estadística , y transformada de Karhunen-Loève en procesamiento de la imagen.


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