Curva de Gosper

La curva de Gosper, nombrada así en honor a Bill Gosper, es una curva de Peano. Es un fractal similar en su construcción a la curva del dragón o a la de Hilbert.

Cuarta iteración de la curva de Gosper.	La línea que una el punto rojo con el verde muestra un solo paso de la construcción de la curva.

Aquí se muestra un programa en Logo para dibujar la curva de Gosper mediante gráficos de tortuga:

to rg :st :ln
make "st :st - 1
make "ln :ln / 2.6457
if :st > 0 [rg :st :ln rt 60 gl :st :ln  rt 120 gl :st :ln lt 60 rg :st :ln lt 120 rg :st :ln rg :st :ln lt 60 gl :st :ln rt 60]
if :st = 0 [fd :ln rt 60 fd :ln rt 120 fd :ln lt 60 fd :ln lt 120 fd :ln fd :ln lt 60 fd :ln rt 60]
end

to gl :st :ln
make "st :st - 1
make "ln :ln / 2.6457
if :st > 0 [lt 60 rg :st :ln rt 60 gl :st :ln gl :st :ln rt 120 gl :st :ln rt 60 rg :st :ln lt 120 rg :st :ln lt 60 gl :st :ln]
if :st = 0 [lt 60 fd :ln rt 60 fd :ln fd :ln rt 120 fd :ln rt 60 fd :ln lt 120 fd :ln lt 60 fd :ln]
end

El programa puede ser llamado, por ejemplo, con rg 4 300, o, alternativamente gl 4 300.

La constante 2,6457 utilizada en el código del programa es una aproximación de √7.

Propiedades

El espacio cubierto por la curva se denomina isla de Gosper. Aquí se muestran las primeras iteraciones de este fractal.

La isla de Gosper puede cubrir completamente el plano. De hecho, se pueden unir entre sí siete copias de la isla de Gosper para formar una figura similar pero de tamaño √7 veces mayor en las dos dimensiones del plano. Iterando este proceso indefinidamente, se consigue una teselación del plano. De modo análogo, se puede extender la isla de Gosper a una curva infinita que cubra el plano.

Véase también

• Fractal
• Lista de fractales por dimensión de Hausdorff

Enlaces externos

• http://kilin.u-shizuoka-ken.ac.jp/museum/gosperex/343-024.pdf (en inglés)
• http://www.mathcurve.com/fractals/gosper/gosper.shtml (en francés))
• http://mathworld.wolfram.com/GosperIsland.html (en inglés)
• http://pseudopodo.wordpress.com/2008/12/01/una-paradoja-fractal/ (en español)