Curva del dragón

Curva del dragón

Curva del dragón

Proceso de formación de este fractal.

La curva del dragón es un fractal que se construye siguiendo los siguientes pasos:

  • A partir de un segmento, se construye el triángulo rectángulo e isósceles, como lo muestra las dos primeras figuras. Luego se borra el segmento inicial.
  • Se repite un sinfín de veces el proceso de remplazar un segmento por otros dos para cada línea de la curva, alternando siempre la orientación de los triángulos.

La siguiente figura muestra los trece primeros pasos:

formación de la curva del dragón

Agrandando la imagen y después de una veintena de iteraciones, se obtiene la curva del dragón:

curva del dragón

Como se puede observar, esta curva llega a rellenar completamente una parte del plano, por lo que su dimensión fractal debe ser 2. El cálculo de su dimensión se hace como en el copo de nieve de Koch, pués las construcciones de ambas curvas son similares.
Si uno se fija en el primer paso de la construcción, se observa que a partir del segmento inicial se obtienen los otros catetos del primer triángulo mediante dos similitudes (una es indirecta) de razón \frac {\sqrt{2}} 2, de centros los extremos del segmento, y de ángulos \frac {\pi} 4 \mbox{ y } -\frac {\pi} 4 radianes (o sea 45º). Llamemos s1 y s2 éstas dos similitudes. Por construcción misma, la enésima figura obtenida en el proceso, Dn, es la reunión de las imágenes por s1 y s2 de la figura anterior Dn-1:

Dn = s1(Dn-1) ∪ s2(Dn-1)


Tomando el límite de ésta relación ( n tiende hacia + ∞), y llamando D = D∞ la curva del dragón, obtenemos:

D = s1(D) ∪ s2(D)

.

Es decir que D es la reunión de dos copias de si misma, a escala \frac {\sqrt{2}} 2 = \frac 1 \sqrt{2} , como se puede ver en la figura siguiente:

homotecias internas del dragón

Por tanto si agrandamos D con una homotecia de razón

\sqrt 2

, obtenemos dos veces D, a la misma escala. Si D es de dimensión d, su "volumen" es multiplicado por

{\sqrt 2}^{ \ d}

por esta homotecia. Aquí tenemos pues:

{\sqrt 2}^{ \ d} = 2

y por tanto d = 2.

Y para rematar, una sorprendente propiedad de la curva del dragón: Se puede pavimentar el plano con ella, es decir rellenarlo sin dejar huecos y sin que se sobrepongan dos o más "piezas":

pavimento del plano con dragones

Referencias

Enlaces externos

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