Teorema de Radon–Nikodym

En matemáticas y particularmente en teoría de la medida, el teorema de Radon–Nikodym establece condiciones bajo las cuales se pueden generar medidas con signo absolutamente continuas respecto a una medida dada.

El teorema está asociado a los nombres de Johann Radon, que lo probó en 1913 para el caso particular en que el espacio subyacente es R'^N, y Otto M. Nikodym, que lo extendió al caso general en 1930.^[1]

Formulación

Dados un espacio medible (X,Σ), una medida σ-finita μ:Σ→ℝ y una medida con signo σ-finita ν:Σ→ℝ absolutamente continua con respecto a μ, entonces existe una función medible f sobre (X,Σ) que satisface:

para todo A∈Σ.

Además, si g es otra función medible en (X,Σ) tal que

para todo A∈Σ, entonces f=g excepto, tal vez, en un conjunto de μ-medida nula.

Derivada de Radon–Nikodym

Dadas las condiciones antes mencionadas, a la función f que satisface

para todo A∈Σ se la llama derivada de Radon-Nykodym de ν con respecto a μ y suele reprsentarse mediante . Dicha notación refleja el hecho de que esta función desempeña un papel análogo al de la derivada en el cálculo.

Notas

Referencias

• Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.