Desplazamiento (vector)

Desplazamiento (vector)
Vector desplazamiento y distancia recorrida a lo largo de un camino.

En mecánica, el desplazamiento es el vector que define la posición de un punto o partícula en relación a un origen A con respecto a una posición B. El vector se extiende desde el punto de referencia hasta la posición final. Cuando hablamos del desplazamiento de un cuerpo en el espacio solo nos importa la posiciòn inicial del cuerpo y la posición final ya que la trayectoria que describe el cuerpo no es de importancia si queremos hallar su desplazamiento y esto lo podemos observar cuando un jugador de fútbol parte de un punto de la cancha y da una vuelta entera a la cancha para llegar a la misma posición inicial, en síntesis para la física allí no hay desplazamiento por que su posición inicial es igual a la final.

Contenido

Introducción

En la mecánica del punto material, se entiende por desplazamiento el vector o segmento recto orientado que une la posición inicial con otro punto genérico de la trayectoria. Este uso del vector desplazamiento permite describir en forma completa el movimiento y el camino de una partícula. En mecánica de medios continuos se entiende por desplazamiento el vector que va desde la posición inicial (antes de la deformación) a la final (después de la deformación) de un mismo punto material del medio continuo.

Cuando el punto de referencia es el origen del sistema de coordenadas que se utiliza, el vector desplazamiento se denomina por lo general vector posición, que indica la posición por medio de la línea recta dirigida desde la posición previa a la posición actual, en comparación con la magnitud escalar "distancia recorrida" que indica solo la longitud del camino, obviamente en un espacio euclídeo se tiene:

\|\Delta\mathbf{r}(t)\| \le L_r = \int_0^t v(t)\ dt = \int_0^t \left\| \frac{d\mathbf{r}(t)}{dt} \right\|\ dt

La igualdad anterior sólo se cumpliría para un movimiento rectilíneo.

Cuando el punto de referencia es la posición previa de la partícula, el vector desplazamiento indica la dirección del movimiento por medio de un vector que va desde la posición previa a la posición actual. Este uso del vector desplazamiento es útil para definir a los vectores velocidad y aceleración de una partícula definida.

Desplazamientos de puntos materiales aislados

En ciertos contextos se representa por Δx y viene dado por:

\Delta_x(t) = x_t - x_0\,

Desplazamientos en un sólido deformable

Si llamamos K a la región del espacio ocupada por un sólido deformable podemos representar el proceso de deformación entre dos posiciones como un difeomorfismo T_D: K \to \mathbb{R}^3 . Si consideramos un sistema de coordenadas cartesinas (x, y, z) sobre K se define el vector desplazamiento u para cada punto sencillamente como:

\mathbf{u} = (u_x, u_y, u_z) = T_D(x,y,z) - (x,y,z)\,

A partir de este vector de desplazamientos es trivial calcular las componentes de la deformación y si se conoce la ley constitutiva del sólido deformable pueden determinarse las tensiones mecánicas a que se halla sometido. En concreto el tensor deformación de Green-Lagrange:

\mathbf{D} = (\varepsilon_{ij}), \quad \mbox{donde}\ \varepsilon_{ij} = {1 \over 2} \left ({\part u_i \over \part x_j} + {\part u_j \over \part x_i}+\sum_{k}{\part u_k \over \part x_i}{\part u_k \over \part x_j}\right)

Donde:

\begin{matrix} u_1 := u_x & u_2 := u_y & u_3 := u_z\\ x_1 := x & x_2 := y & x_3 := z \end{matrix}

Véase también


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