Tensión mecánica

Tensión mecánica
Para otros usos de este término, véase tensión.
Vector tensión en una superficie interna S con vector unitario normal \mathbf{n}\,\!. Dependiendo de la orientación del plano en cuestión, el vector tensión puede no ser necesariamente perpendicular a ese plano, es decir, paralelo a \mathbf{n}\,\!, y puede descomponerse en dos vectores: un compnente normal al plano, llamado tensión normal \sigma_\mathrm{n} \,\!, y otro componente paralelo al plano, denominado tensión cortante \tau \,\!.
Componentes del tensor tensión en un punto P de un sólido deformable.

En física e ingeniería, se denomina tensión mecánica a la fuerza por unidad de área en el entorno de un punto material sobre una superficie real o imaginaria de un medio continuo. La definición anterior se aplica tanto a fuerzas localizadas como fuerzas distribuidas, uniformemente o no, que actuán sobre una superficie.

Si se considera un cuerpo sometido a un sistema de fuerzas y momentos de fuerza, se puede observar la acción de las tensiones mecánicas si se imagina un corte mediante un plano imaginario π que divida el cuerpo en dos partes. Para que cada parte estuviera en equilibrio mecánico, sobre la superficie de corte de cada una de las partes debería reestablecerse la interacción que ejercía la otra parte del cuerpo. Así, sobre cada elemento de la superficie (dS), debe actuar una fuerza elemental (dF), a partir de la cual se define un vector tensión (tπ) como el resultado de dividir dicha fuerza elemental entre la superficie del elemento.

\mathbf{t}_\pi = \frac{d\mathbf{F}}{dA}

Este vector tensión depende del estado tensional interno del cuerpo, de las coordenadas del punto escogido y del vector unitario normal al plano π (nπ). Se puede probar que tπ y nπ están relacionados por una aplicación lineal T o campo tensorial llamado tensor tensión:

\mathbf{t}_\pi = \mathbf{T}\left(\mathbf{n}_\pi \right)

La tensión mecánica se expresa en unidades de presión, es decir, fuerza dividida entre área. En el Sistema Internacional, la unidad de la tensión mecánica es el pascal (1 Pa = 1 N/m²). No obstante, en ingeniería también es usual expresar otras unidades como kg/cm² o kg/mm², donde «kg» se refiere a kilopondio o kilogramo-fuerza, no a la unidad de masa kilogramo.

Contenido

Principio de Cauchy

Sea B \, un medio continuo deformado, entonces en cada subdominio V \subset B \, existe un campo vectorial t \,, llamado campo de tensiones, tal que las fuerzas de volumen f\in \Bbb{R}^3 y el campo de tensiones t\in \Bbb{R}^3 satisfacen las siguientes ecuaciones de equilibrio:

\int_{V} f(\mathbf{x}) dV + \int_{\partial V} t(\mathbf{x},n) dA = 0
\int_{V} \mathbf{x} \times f(\mathbf{x}) dV + \int_{\partial V} \mathbf{x} \times t(\mathbf{x},n) dA = 0


Este principio fue enunciado por Augustin Louis Cauchy en su forma más general, aunque previamente Leonhard Euler había hecho una formulación menos general. De este principio puede demostrarse el teorema debido a Cauchy para el tensor tensión que postula que el principio de Cauchy equivale a la existencia de una aplicación lineal, llamada tensor tensión T\in C^1(B,\Bbb{R}^3) con las siguientes propiedades:

  1. t(\mathbf{x},n) = [T(\mathbf{x})](n),
  2. \operatorname{div}\, T(\mathbf{x}) + f(\mathbf{x}) = 0,
  3. T(\mathbf{x}) = T^T(\mathbf{x})


Con el principio, enunció también los dos postulados que definen la actuación de los vectores sobre una superficie

Tensión normal y tensión tangencial

Si consideramos un punto concreto de un sólido deformable sometido a tensión y se escoge un corte mediante un plano imaginario π que lo divida al sólido en dos, queda definido un vector tensión tπ que depende del estado tensional interno del cuerpo, de las coordenadas del punto escogido y del vector unitario normal nπ al plano π definida mediante el tensor tensión:

{\mathbf{t}_\pi} = {T(\mathbf{n}_\pi)} \,

Usualmente ese vector puede descomponerse en dos componentes que físicamente producen efectos diferentes según el material sea más dúctil o más frágil. Esas dos componentes se llaman componentes intrínsecas del vector tensión respecto al plano π y se llaman tensión normal o perpendicular al plano y tensión tangencial o rasante al plano, estas componentes vienen dadas por:

\begin{cases} \sigma_\pi = \mathbf{t}_\pi \cdot \mathbf{n}_\pi \\ \tau_\pi = ||\mathbf{t}_\pi \times \mathbf{n}_\pi|| \end{cases} \Rightarrow \qquad ||\mathbf{t}_\pi||^2 = \sigma_\pi^2 + \tau_\pi^2

Análogamente cuando existen dos sólidos en contacto y se examinan las tensiones entre dos puntos de los dos sólidos, se puede hacer la descomposición anterior de la tensión de contacto según el plano tangente a las superficies de ambos sólidos, en ese caso la tensión normal tiene que ver con la presión perpendicular a la superficie y la tensión tangencial tiene que ver con las fuerzas de fricción entre ambos.

Un caso particular: tensión uniaxial (problema unidimensional)

Un caso particular es el de tensión uniaxial, que se define en una situación en que se aplica fuerza F uniformemente distribuida sobre un área A. En ese caso la tensión mecánica uniaxial se representa por un escalar designado con la letra griega σ (sigma) y viene dada por:

\sigma=\frac{F}{A}

El concepto de esfuerzo longitudinal parte en dos observaciones simples sobre el comportamiento de cables sometidos a tensión:

1. Cuando un cable con elasticidad lineal se estira bajo la acción de una fuerza F, se observa que el alargamiento unitario ΔL/L es proporcional a la carga F dividida por el área de la sección transversal A del cable, esto es, al esfuerzo, de modo que podemos escribir

\sigma=E\frac{\Delta L}{L}\,

donde E es una característica del material del cable llamado módulo de Young.
2. El fallo resistente o ruptura del cable ocurre cuando la carga F superaba un cierto valor Frupt que depende del material del cable y del área de su sección transversal. De este modo queda definido el esfuerzo de ruptura

\sigma_{\text{rupt}}=\frac{F_{\text{rupt}}}{A}\,

Estas observaciones ponen de manifiesto que la característica fundamental que afecta a la deformación y al fallo resistente de los materiales es la magnitud σ, llamada esfuerzo o tensión mecánica. Medidas más precisas ponen de manifiesto que la proporcionalidad entre el esfuerzo y el alargamiento no es exacta porque durante el estiramiento del cable la sección transversal del mismo experimenta un estrechamiento, por lo que A disminuye ligeramente. Sin embargo, si se define la tensión real σ = F/A' donde A' representa ahora el área verdadera bajo carga, entonces se observa una proporcionalidad correcta para valores pequeños de F.

El coeficiente de Poisson se introdujo para dar cuenta de la relación entre el área inicial A y el área deformada A' . La introducción del coeficiente de Poisson en los cálculos estimaba correctamente la tensión al tener en cuenta que la fuerza F se distribuía en un área algo más pequeña que la sección inicial, lo cual hace que σ > s.

Bibliografía

  • Luis Ortiz Berrocal (2007). Resistencia de materiales, Madrid: Ed. McGraw-Hill. ISBN 9788448156336

Véase también

Enlaces externos


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