Fórmula de d'Alembert

Fórmula de d'Alembert

La fórmula de D'Alembert es la solución general de la ecuación de onda, una ecuación en derivadas parciales hiperbólica, en un espacio de una dimensión.

u_{tt}-c^2u_{xx}=0,\, u(x,0)=g(x),\, u_t(x,0)=h(x),

para -\infty < x<\infty,\,\, t>0. Fue descubierta por el matemático Jean le Rond d'Alembert.

Las características de esta ecuación son x\pm ct=\mathrm{const}\,, por lo que usamos el cambio de variables \mu=x+ct, \eta=x-ct\, para transformar la ecuación en u_{\mu\eta}=0\,. La solución general a esta última es u(\mu,\eta) = F(\mu) + G(\eta)\, donde F\, y G\, son funciones C^1\,. En términos de las coordenadas x,t\, originales,

u(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct)\,
donde u\, es C^2\, si F\, y G\, son C^2\,.

Esta solución u\, puede interpretarse como suma de dos ondas de velocidades \pm c\, que se desplazan en direcciones opuestas a lo largo del eje x.

Considérese ahora el problema con las condiciones iniciales de Cauchy u(x,0)=g(x), u_t(x,0)=h(x)\,.

Usando u(x,0)=g(x)\, obtenemos F(x)+G(x)=g(x)\,.

Usando u_t(x,0)=h(x)\, obtenemos cF'(x)-cG'(x)=h(x)\,.

Al integrar la última ecuación obtenemos

cF(x)-cG(x)=\int_{-\infty}^x h(\xi) d\xi + c_1\,

Las soluciones del sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones última y antepenúltima son

F(x) = \frac{-1}{2c}\left(-cg(x)-\left(\int_{-\infty}^x h(\xi) d\xi +c_1 \right)\right)\,
G(x) = \frac{-1}{2c}\left(-cg(x)+\left(\int_{-\infty}^x h(\xi) d\xi +c_1 \right)\right)\,

Ahora, usando

u(x,t) = F(x+ct)+G(x-ct)\,

obtenemos la fórmula de d´Alembert:

u(x,t) = \frac{1}{2}\left[g(x-ct) + g(x+ct)\right] + \frac{1}{2c} \int_{x-ct}^{x+ct} h(\xi) d\xi

Bibliografía adicional

  • Chester, C. (1971) (en inglés). Techniques in Partial Differential Equations. McGraw-Hill. Capítulo 2. 

Enlaces externos

  • Un ejemplo de como resolver una ecuación de onda no homogénea desde www.exampleproblems.com

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Mira otros diccionarios:

  • Alembert — and its variants may refer to:People: *Jean le Rond d Alembert (1717 1783), French philosopher and mathematician *Sandy D Alemberte (b. 1933), American lawyer and former politicianPlaces: *D Alembert (crater), a lunar impact craterMathematics and …   Wikipedia

  • ALEMBERT (J. Le Rond d’) — L’un des mathématiciens et physiciens les plus importants du XVIIIe siècle, d’Alembert fut aussi un philosophe marquant des Lumières. Dans les sciences aussi bien qu’en philosophie, il incorpora la tradition du rationalisme cartésien aux… …   Encyclopédie Universelle

  • Fórmula general (matemáticas) — Este artículo o sección, en su redacción actual, corresponde a una definición de diccionario y debería estar en el Wikcionario, probablemente bajo la entrada fórmula general (matemáticas). Si amplías este artículo con contenido enciclopédico… …   Wikipedia Español

  • Jean Le Rond d'Alembert — Saltar a navegación, búsqueda Jean Le Rond d Alembert …   Wikipedia Español

  • Jean le Rond d'Alembert — Nacimiento 16 de noviembre de 1717 París …   Wikipedia Español

  • Paradoja de D'Alembert — Saltar a navegación, búsqueda Jean le Rond d Alembert La paradoja de D Alembert, es una contradicción a la que llegó D Alembert luego de estudiar matemáticamente el fenómeno de la resistencia producida sobre un cuerpo cuando una corriente de… …   Wikipedia Español

  • Jean le Rond d'Alembert — d Alembert redirects here. For other uses, see d Alembert (disambiguation). Jean Baptiste le Rond d Alembert Jean Baptiste le Rond d Alembert, pastel by Maurice Quentin de La Tour …   Wikipedia

  • d'Alembert's formula — In mathematics, and specifically partial differential equations, d´Alembert s formula is the general solution to the one dimensional wave equation: for . It is named after the mathematician Jean le Rond d Alembert.[1] The characteristics of the… …   Wikipedia

  • D'Alembert's formula — In mathematics, and specifically partial differential equations, d´Alembert s formula is the general solution to the one dimensional wave equation: :u {tt} c^2u {xx}=0,, u(x,0)=g(x),, u t(x,0)=h(x),for infty < x0. It is named after the… …   Wikipedia

  • Ecuación de onda — Saltar a navegación, búsqueda La ecuación de onda es una importante ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden que describe la propagación de una variedad de ondas, como las ondas sonoras, las ondas de luz y las ondas en el agua. Es… …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”