- Fórmula de d'Alembert
-
La fórmula de D'Alembert es la solución general de la ecuación de onda, una ecuación en derivadas parciales hiperbólica, en un espacio de una dimensión.
para
0" border="0">. Fue descubierta por el matemático Jean le Rond d'Alembert.
Las características de esta ecuación son
, por lo que usamos el cambio de variables
para transformar la ecuación en
. La solución general a esta última es
donde
y
son funciones
. En términos de las coordenadas
originales,
- donde
es
si
y
son
.
Esta solución
puede interpretarse como suma de dos ondas de velocidades
que se desplazan en direcciones opuestas a lo largo del eje x.
Considérese ahora el problema con las condiciones iniciales de Cauchy
.
Usando
obtenemos
.
Usando
obtenemos
.
Al integrar la última ecuación obtenemos
Las soluciones del sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones última y antepenúltima son
Ahora, usando
obtenemos la fórmula de d´Alembert:
Bibliografía adicional
- Chester, C. (1971) (en inglés). Techniques in Partial Differential Equations. McGraw-Hill. Capítulo 2.
Enlaces externos
- Un ejemplo de como resolver una ecuación de onda no homogénea desde www.exampleproblems.com
Wikimedia foundation. 2010.