Fórmula de d'Alembert

Fórmula de d'Alembert

La fórmula de D'Alembert es la solución general de la ecuación de onda, una ecuación en derivadas parciales hiperbólica, en un espacio de una dimensión.

u_{tt}-c^2u_{xx}=0,\, u(x,0)=g(x),\, u_t(x,0)=h(x),

para -\infty < x<\infty,\,\, t>0. Fue descubierta por el matemático Jean le Rond d'Alembert.

Las características de esta ecuación son x\pm ct=\mathrm{const}\,, por lo que usamos el cambio de variables \mu=x+ct, \eta=x-ct\, para transformar la ecuación en u_{\mu\eta}=0\,. La solución general a esta última es u(\mu,\eta) = F(\mu) + G(\eta)\, donde F\, y G\, son funciones C^1\,. En términos de las coordenadas x,t\, originales,

u(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct)\,
donde u\, es C^2\, si F\, y G\, son C^2\,.

Esta solución u\, puede interpretarse como suma de dos ondas de velocidades \pm c\, que se desplazan en direcciones opuestas a lo largo del eje x.

Considérese ahora el problema con las condiciones iniciales de Cauchy u(x,0)=g(x), u_t(x,0)=h(x)\,.

Usando u(x,0)=g(x)\, obtenemos F(x)+G(x)=g(x)\,.

Usando u_t(x,0)=h(x)\, obtenemos cF'(x)-cG'(x)=h(x)\,.

Al integrar la última ecuación obtenemos

cF(x)-cG(x)=\int_{-\infty}^x h(\xi) d\xi + c_1\,

Las soluciones del sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones última y antepenúltima son

F(x) = \frac{-1}{2c}\left(-cg(x)-\left(\int_{-\infty}^x h(\xi) d\xi +c_1 \right)\right)\,
G(x) = \frac{-1}{2c}\left(-cg(x)+\left(\int_{-\infty}^x h(\xi) d\xi +c_1 \right)\right)\,

Ahora, usando

u(x,t) = F(x+ct)+G(x-ct)\,

obtenemos la fórmula de d´Alembert:

u(x,t) = \frac{1}{2}\left[g(x-ct) + g(x+ct)\right] + \frac{1}{2c} \int_{x-ct}^{x+ct} h(\xi) d\xi

Bibliografía adicional

  • Chester, C. (1971) (en inglés). Techniques in Partial Differential Equations. McGraw-Hill. Capítulo 2. 

Enlaces externos

  • Un ejemplo de como resolver una ecuación de onda no homogénea desde www.exampleproblems.com

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