Fórmula integral de Cauchy

Fórmula integral de Cauchy

Esta fórmula, debida a Cauchy, es parte fundamental del Cálculo Integral de variable compleja.

Contenido

Definición

Enunciado 1

Sea f(z) una función analítica en un dominio simplemente conexo D. Entonces para cualquier punto z_0 \, contenido en el interior de D y para cualquier camino C cerrado simple que contenga al punto se tiene

\oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz=2\pi i\cdot f(z_0)

donde la integración está tomada en sentido antihorario.

Enunciado 2

Sea f \, una función analítica sobre γ, γ un camino (una curva diferenciable con continuidad a trozos) cerrado y z_0\notin \gamma

f(z_0) = \frac{1}{2 \pi i \cdot I_\gamma(z_0)} \oint_{\gamma}\frac{f(\omega)}{\omega-z_0} d\omega

Siendo z_0 \, un punto, I_\gamma(z_0) \, el índice del punto respecto a la curva (el número de veces que la curva rodea al punto teniendo en cuenta el sentido con que lo hace).

Véase también

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