Función circular

Función circular

En topología y en particular en el cálculo, una función circular en una variedad diferenciable M, es una función escalar M\to{\mathbb{R}} cuyos puntos críticos son un enlace, es decir, una unión disjunta de componentes conexos, cada uno siendo homeomorfos al círculo S1.

Por ejemplo, sea M el toro. Sea K=]0,2\pi[\times]0,2\pi[ entonces el mapeo X\colon K\to{\mathbb{R}}^3 dado por

X(\theta,\phi)=((2+\cos\theta)\cos\phi,(2+\cos\theta)\sin\phi,\sin\theta) \,

es una parametrización para casi todo el toro. Mediante la proyección \pi_3\colon{\mathbb{R}}^3\to{\mathbb{R}} obtenemos G=\pi_3|_M\colon M\to{\mathbb{R}} cuyos puntos críticos están determinados por

\nabla G(\theta,\phi)=({\partial G\over \partial\theta}, {\partial G\over \partial\phi})(\theta,\phi)=(0,0) \,

si y sólo si \theta={\pi\over 2},\ {3\pi\over 2}

El círculo negro es uno de estos conjuntos críticos.

Estos dos valores para θ dan los conjuntos críticos

X({\pi/2},\phi)=(2\cos\phi,2\sin\phi,1) \,
X({3\pi/2},\phi)=(2\cos\phi,2\sin\phi,-1) \,

que representan dos círculos extremos para el toro.

Observe que el Hessiano para esta función es

{\rm Hess}(G)= \begin{bmatrix} -\sin\theta & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}

el cual se revela a sí mismo de rankHess(G) = 1 en los círculos de arriba, determinando que los puntos críticos sean degenerados, esto es, mostrando que los puntos críticos no están aislados.

Referencias

  • Siersma and Khimshiasvili, On minimal round functions, [1] Preprint 1118, Department of Mathematics, Utrecht University, 1999, pp. 18.

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