Matriz hessiana

Matriz hessiana

En Matemática, la matriz hessiana de una función f de n variables, es la matriz cuadrada de n × n, de las segundas derivadas parciales.

Contenido

Definición

Dada una función real f de n variables reales:

\begin{align} & f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R} \\ & \,\,\,\,\,\,\,x\mapsto f(x) \\ \end{align}


Si todas las segundas derivadas parciales de f existen, se define la matriz hessiana de f como: H_{f}(\mathbf{x}), donde

H_{f}(\mathbf{x})_{i,j} = \frac{\partial^2\,f(\mathbf{x})}{\partial x_i\, \partial x_j}.

tomando la siguiente forma

H(f) = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_n} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{bmatrix}

Además, se tiene que si :f \colon A \subseteq \Bbb{R}^n \to \Bbb{R} \, con A un conjunto abierto y f clase \mathcal C^2, entonces la matriz hessiana esta bien definida, y en virtud del teorema de Clairaut (ó teorema de Schwartz), es una matriz simétrica.

Esta matriz debe su nombre al matemático alemán Ludwig Otto Hesse y fue introducido por James Joseph Sylvester.

Aplicación de la matriz hessiana

Concavidad/Convexidad

Sea A \subseteq \mathbb{R}^n un conjunto abierto y f \colon A \to \mathbb{R} una función con derivadas segundas continuas:

  1. f \, es cóncava si y solo si, \forall a \in A, la matriz hessiana H_f(a) \, es semidefinida negativa.
  2. Si \forall a \in A la matriz hessiana H_f(a) \, es definida negativa, entonces f \, es estrictamente cóncava.
    • Si f \, es una función cóncava, entonces cualquier punto en que todas las derivadas parciales son cero, es un máximo local.
  3. f \, es convexa si y solo si, \forall a \in A, la matriz hessiana H_f(a) \, es semidefinida positiva.
  4. Si \forall a \in A la matriz hessiana H_f(a) \, es definida positiva, entonces f es estrictamente convexa.
    • Si f \, es una función convexa, entonces cualquier punto en que todas las derivadas parciales son cero, es un mínimo local.

Método para determinar el carácter de los puntos críticos

Se verá a continuación cómo hallar los puntos críticos (máximos, mínimos y puntos de inflexión -o silla o de ensilladura) de una función f de múltiples variables.

  1. Se igualan las derivadas parciales primeras a cero.
  2. Se resuelven las ecuaciones anteriores y se obtienen las coordenadas de los puntos críticos.
  3. Se construye la matriz hessiana (derivadas segundas parciales).
  4. Dependiendo del tipo de matriz resultante de evaluar la matriz Hessiana en los diferentes puntos críticos, estos puntos serán:
  • Máximo: si la matriz hessiana en el punto es definida negativa.
  • Mínimo: si la matriz hessiana en el punto es definida positiva.
  • Punto de silla: si la matriz hessiana en el punto es indefinida (hay por lo menos dos valores propios de signos distintos).

Si la matriz hessiana resulta semidefinida positiva (o negativa) el método no clasifica, y debe buscarse otro procedimiento para determinar el carácter del punto crítico.

Matriz hessiana orlada

Variante de la matriz hessiana (que se construye de una manera diferente en este caso). Su determinante se utiliza como criterio para determinar si puntos críticos de funciones sometidas a restricciones son mínimos o máximos (extremos condicionados).[1]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Marsden, Jerrold E.; Tromba, Anthony J. (2004), Cálculo vectorial, Madrid: Pearson Educación S.A., ISBN 978-84-7829-069-7 , página 230

Enlaces externos


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