- Función de Airy
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La función de Airy Ai(x) es una función especial, llamada así por el astrónomo británico George Biddell Airy. La función Ai(x) y la función relacionada Bi(x), también llamada a veces función de Airy, son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial ordinaria:
Esta ecuación diferencial recibe el nombre de ecuación de Airy o ecuación de Stokes. Es la ecuación diferencial lineal de segundo orden más simple que posee un punto donde la solución pasa de tener un comportamiento oscilatorio a un (de)crecimiento exponencial.
Además la función de Airy es una solución a la ecuación de Schrödinger para una partícula confinada dentro de un pozo potencial triangular y también la solución para el movimiento unidimensional de una partícula cuántica afectada por una fuerza constante.
Contenido
Definiciones
La gráfica de Ai(x) de color rojo y Bi(x) de azul.
Para valores reales de x, la función Airy está definida por la integral
la cual converge porque las partes positiva y negativa de las osicilaciones se cancelan una a otra (como puede verificarse por integración por partes).
Al derivar dentro del signo de integración encontramos que esta función satisface la ecuación diferencial
Esta ecuación tiene dos soluciones linealmente independientes. La elección estándar para la otra solución es la función de Airy del segundo tipo, llamada B(x). Se define como la solución que tiene la misma amplitud de oscilación que Ai(x) a medida que x va a −∞ y tiene un desfasamiento de π/2:
Propiedades
Los valores de Ai(x) y Bi(x) y sus derivadas en el origen (x = 0) vienen dadas por:
donde Γ denota la función gamma. Lo anterior implica que el wronskiano de Ai(x) y Bi(x) es 1/π.
Referencias
- Milton Abramowitz and Irene A. Stegun (1954). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (See §10.4). National Bureau of Standards.
- Airy (1838). On the intensity of light in the neighbourhood of a caustic. Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 6, 379–402.
- Olver (1974). Asymptotics and Special Functions, Chapter 11. Academic Press, New York.
- Olivier Vallée and Manuel Soares (2004), "Airy functions and applications to physics", Imperial College Press, London.
- Harold Richard Suiter (1994). Star Testing Astronomical Telescopes: A Manual for Optical Evaluation and Adjustment. Richmond, VA: Willmann-Bell. ISBN 978-0-943396-44-6. (con muchas imágenes de ejemplo)
Enlaces externos
- Weisstein, Eric W. «Airy Functions» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.
- Plantilla:WolframFunctionsSite
- Plantilla:Dlmf
Categorías:- Funciones especiales
- Ecuaciones diferenciales
![\mathrm{Bi}(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \left[\exp\left(-\tfrac13t^3 + xt\right) + \sin\left(\tfrac13t^3 + xt\right)\,\right]dt.](5/ae553855db287d06c1c1c05ed0ffb6e3.png)
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