Máximo común divisor

En matemáticas el máximo común divisor (abreviado MCD) de dos o más números enteros es el mayor número que los divide sin dejar resto. Por ejemplo, el MCD de 42 y 56 es 14. En efecto, $\ \frac {42} {14}=3 ,$ $\ \frac {56} {14} = 4 ,$ y $\ 3$ y $\ 4$ son primos entre sí (no existe ningún número natural aparte de 1 que divida a la vez al 3 y al 4).

Cálculo del MCD

Los dos métodos más utilizados para el cálculo del máximo común divisor de dos números son:

Descomposición en factores primos

Artículo principal: Factorización de enteros

El máximo común divisor de dos números puede calcularse determinando la descomposición en factores primos de los dos números y tomando los factores comunes elevados a la menor potencia, el producto de los cuales será el MCD. Por ejemplo, para calcular el máximo común divisor de 48 y de 60 obtenemos la factorización en factores primos

De las factorizaciones de 48 y 60:

$\begin{array}{r|l} 48 & 2 \\ 24 & 2 \\ 12 & 2 \\ 6 & 2 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{array}$

$48 = 2^4 \cdot 3 \,$

$\begin{array}{r|l} 60 & 2 \\ 30& 2 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array}$

$60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \,$

El MCD son los factores comunes con su menor exponente, esto es:

$\operatorname{mcd} (48, 60) = 2^2 \cdot 3 = 12$

En la práctica, este método solo es operativo para números pequeños tomando en general demasiado tiempo calcular la descomposición en factores primos de dos números cualesquiera.

Algoritmo de Euclides

Artículo principal: Algoritmo de Euclides

Un método más eficiente es el algoritmo de Euclides, que utiliza el algoritmo de la división junto al hecho que el mcd de dos números también divide al resto de dividir el mayor entre el más pequeño: se divide 60 entre 48 dando un cociente de 1 y un resto de 12. El MCD será por tanto divisor de 12. Después se divide 48 entre 12 dando un resto de 0, lo que significa que 12 es el mcd. Formalmente puede describirse como:

$\operatorname{mcd}(a,0) = a$

$\operatorname{mcd}(a,b) = \operatorname{mcd}(b, Resto(a,b)).$

MCD de tres o más números

El máximo común divisor de tres números se puede calcular como sigue: $\ \operatorname{mcd}(a,b,c) = \operatorname{mcd}(a, \operatorname{mcd}(b,c))$ aunque hay métodos más prácticos y sencillos.

Propiedades

1. Si $\ \operatorname{mcd}(a,b)=d$ entonces $\ \operatorname{mcd} \left(\frac{a}{d}, \frac{b}{d}\right)= 1$

2. Si $\ m$ es un entero, $\ \operatorname{mcd}(ma,mb)= |m|\cdot \operatorname{mcd}(a,b)$

3. Si $\ p$ es un número primo, entonces $\ \operatorname{mcd}(p,m)=p$ o bien $\ \operatorname{mcd}(m,p)=1$

4. Si $d=\operatorname{mcd}(m,n),\ m=d'm'',\ n=d'n'',\ \operatorname{mcd}(m'',n'')=1$ , entonces $\ d=d'$

5. Si $\ d'$ es un divisor común de $\ m$ y $\ n$ , entonces $d'\mid \operatorname{mcd}(m,n)$

6. Si $\ m=nq+r$ , entonces $\operatorname{mcd}(m,n)=\operatorname{mcd}(n,r)$

7. Si $\ m=p_1^{\alpha_1}\cdots p_k^{\alpha_k}\;\, \mathrm y \;\, n=p_1^{\beta_1}\cdots p_k^{\beta_k},\;\, \alpha_i, \beta_i\geq 0, \;\, i=1,...,k$ , entonces:

$\operatorname{mcd}(m,n)=p_1^{\operatorname{min}(\alpha_1,\beta_1)}\cdots p_k ^ {\operatorname{min} (\alpha_k, \beta_k)}$

La última propiedad dice que el máximo común divisor de dos números resulta ser el producto de sus factores primos comunes elevados al menor exponente.

Geométricamente, el máximo común divisor de a y b es el número de puntos de coordenadas enteras que hay en el segmento que une los puntos (0,0) y (a,b), excluyendo el (0,0).

Aplicaciones

El MCD se utiliza para simplificar fracciones. Por ejemplo, para simplificar la fracción $\frac {48}{60}$ se calcula primero el mcd(60, 48) = 12, dividiéndose el numerador y el denominador de la fracción inicial por 12 para obtener la fracción simplificada $\frac {4}{5}$ .

El MCD también se utiliza para calcular el mínimo común múltiplo de dos números. En efecto, el producto de los dos números es igual al producto de su máximo común divisor por su mínimo común múltiplo. Así, para calcular el mínimo común múltiplo de 48 y de 60, calculamos primero su mcd, 12, siendo su mínimo común múltiplo $\frac {48 \cdot 60}{12} = 240$ .

Enlaces externos

Categoría:

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